Question

$(X,\tau)$ topolojik uzay, $\mathcal{A}\subseteq 2^{X}$ ve $\emptyset\neq Y\subseteq X$ olmak üzere $$\mathcal{A},\ \tau \text{ için altbaz}\Rightarrow \mathcal{A}_Y:=\{Y\cap A|A\in \mathcal{A}\}, \ \tau_Y \text{ için altbaz}$$ olduğunu gösteriniz.

Answer 1

$(X,\tau)$ topolojik uzay; $\mathcal{A}$, $\tau$ için altbaz ve $\mathcal{A}_Y:=\{Y\cap A|A\in \mathcal{A}\}$ olsun.

Amacımız $\mathcal{A}_Y$ ailesinin $\tau_Y$ altuzay (relatif) topolojisi için altbaz olduğunu göstermek. Bunun için de   $$\mathcal{A}_Y:=\{Y\cap A|A\in \mathcal{A}\}\subseteq \tau_Y$$ olduğunu ve $$\mathcal{B}_Y:=\left\{\bigcap\mathcal{A}_Y^*\big{|}(\mathcal{A}_Y^*\subseteq \mathcal{A})(|\mathcal{A}_Y^*|<\aleph_0)\right\}$$ ailesinin $\tau_Y$ altuzay topolojisi için baz olduğunu göstermeliyiz.

$\left.\begin{array}{rr} \mathcal{A}, \tau \text{ için baz}\Rightarrow \mathcal{A}\subseteq \tau \\ \\ \tau_Y:=\{Y\cap T|T\in \tau\}  \end{array}\right\}\Rightarrow \mathcal{A}_Y:=\{Y\cap A|A\in \mathcal{A}\}\subseteq \tau_Y\ldots (1)$

Şimdi de $$\mathcal{B}_Y:=\left\{\bigcap\mathcal{A}_Y^*\big{|}(\mathcal{A}_Y^*\subseteq \mathcal{A})(|\mathcal{A}_Y^*|<\aleph_0)\right\}$$ ailesinin $\tau_Y$ altuzay topolojisi için baz olduğunu gösterelim. Bunun için de $$\mathcal{B}_Y\subseteq \tau_Y$$ ve $$(\forall U\in\tau_Y)(\exists\mathcal{B}^*\subseteq\mathcal{B}_Y)(U=\cup\mathcal{B}_Y^*)$$ önermelerinin doğru olduğunu göstermeliyiz.

$S\in\mathcal{B}_Y$ olsun.
 
$\left.\begin{array}{rr} S\in\mathcal{B}_Y\Rightarrow (\exists \mathcal{A}_Y^*\subseteq \mathcal{A}_Y)(|\mathcal{A}_Y^*|<\aleph_0)(S=\cap \mathcal{A}_Y^*) \\ \\ \mathcal{A}^{**}:=\{A|Y\cap A\in\mathcal{A}_Y^*\}\end{array}\right\}\Rightarrow$

$\left.\begin{array}{rr}\Rightarrow (\mathcal{A}^{**}\subseteq \mathcal{A})(|\mathcal{A}^{**}|<\aleph_0)(S=\cap_{B\in\mathcal{A}_Y^*}B=\cap_{A\in \mathcal{A}^{**}}(Y\cap A)=Y\cap (\cap\mathcal{A}^{**}) \\ \\ \mathcal{A}, \tau \text{ için altbaz}\end{array}\right\}\Rightarrow$

$\Rightarrow (\cap\mathcal{A}^{**}\in \tau)(S=Y\cap (\bigcap\mathcal{A}^{**}))$

$\Rightarrow S\in \tau_Y.$

O halde $$\mathcal{B}_Y\subseteq \tau_Y\ldots (2)$$

Şimdi de $U\in\tau_Y$ olsun.

$\left.\begin{array}{rr}U\in\tau_Y\Rightarrow (T\in\tau)(U=Y\cap T) \\ \\ \mathcal{A}, \tau \text{ için altbaz}\Rightarrow \mathcal{B}:=\{\cap\mathcal{A}^*|(\mathcal{A}^*\subseteq \mathcal{A})(|\mathcal{A}^*|<\aleph_0)\}, \tau \text{ için baz}\end{array}\right\}\Rightarrow$

 

$\Rightarrow (\exists \mathcal{B}^*\subseteq \mathcal{B})(U=Y\cap (\cup\mathcal{B}^*)=Y\cap (\cup_{B\in\mathcal{B}^*}B)=\cup_{B\in\mathcal{B}^*}(Y\cap B))$

 

$\left.\begin{array}{rr} \Rightarrow (\forall B\in\mathcal{B}^*)(\exists\mathcal{A}_B\subseteq \mathcal{A})(|\mathcal{A}_B|<\aleph_0)(U=\cup_{B\in\mathcal{B}^*}(Y\cap (\cap\mathcal{A}_B))) \\ \\ \mathcal{B}_Y^*:=\{Y\cap (\cap\mathcal{A}_B^*)|B\in\mathcal{B}^*\}\end{array}\right\}\Rightarrow$

 

$\Rightarrow (\mathcal{B}_Y^*\subseteq \mathcal{B}_Y)(U=\cup\mathcal{B}_Y^*)\ldots (3)$

$(2),(3)\Rightarrow \mathcal{B}_Y, \tau_Y \text{ için baz}\ldots (4)$

$(1),(4)\Rightarrow \mathcal{A}_Y, \tau_Y \text{ için altbaz}.$