Fürstenbergin asallarin sonsuzlugunun ispati

Question

Merhaba,

Fürstenbergin asal sayilarin sonsuzlugu ispatini okuyordum ama anlamadigim noktalar var.

$\mathbb{Z}$ uzerine bir topoloji kuracagiz. Bir kumeye acik diyecegiz ancak ve ancak bos kume ise veya $S(a,b) = \{an+b | n \in \mathbb{Z} \}$ kumelerinin birlesimi ise.

Sorum bunun nasil topoloji olusturdugunu gormememden kaynaklaniyor. $\emptyset$ ve $\mathbb{Z} = S(1,0)$ in acik kume oldugunu gorebiliyorum. Yukarida topolojiyi kurarken $S(a,b)$ nin birlesimlerini zaten topolojiye aldigimiz icin her acik kumenin birlesimlerinin de topolojinin elemani oldugunu gorebiliyorum. Ama her acik kumenin kesisiminin gene topolojide oldugunu goremiyorum.

Kanitin devaminda su iki ozellik kullaniliyor:

1. Sonlu kumeler bu topolojide acik olamaz yani sonlu kumelerin tumleyenleri kapali olamaz
2. $S(a,b)$ kumeleri kapaciktir cunku  $S(a,b) = \mathbb{Z} / \bigcup\limits_{i=1}^{a-1}S(a,b+i)$ 

Daha sonra

$\mathbb{Z} / \{-1,1\} = \bigcup\limits_{\text{p asal}}S(p,0)$ 

kümelerini inceliyoruz.

1 den dolayi $\mathbb{Z} / \{-1,1\}$ kapali olamaz.

2  den dolayi $S(p,0)$ kumeleri kapali. 

Eger sonlu sayida asal sayi olsaydi, kapali kümelerin sonlu birlesimleri yeniden kapali olacagi icin celiski elde ederiz. O zaman asal sayilar sonsuzdur.

 

Cok hosuma giden bir kanit oldu ama $S(a,b)$nin sonlu kesisimlerinin de topolojide oldugunu gorebilirsem cok guzel olacak. Simdiden tesekkur ederim.

Comments

ayni zamanda $\mathbb{Z}$ yerine $\mathbb{N}$ kullanabilir miyiz diye de merak etmekteyim.

---

Kesişim boş değilse hepsinde olan bir $B$ alalım. Kümeleri $a_i x+B$ olarak yazabiliriz ve kesişimleri $\text{ekok}(a_i)x+B$ olur.

---

Burada biraz daha açıklamalı olarak var.

---

Ekok cok mantikliymis anladim simdi tesekkurler. Peki ayni ispati $\mathbb{Z}$ yerine $\mathbb{N}$ i kullanarak da yapabilirim gibime geliyor yaniliyor muyum acaba ? Paylasilan dokumanda topolojinin bazini kurarken $S(a,b)$ de $b>1$ sarti verilmis, $b \neq 0$ da yetmez mi sadece ?

---

İspatlarda pozitif olmasını kullanacaksa böyle bir şart koyabilir.

---

Detaylı bakmadım ama b=1 de olmasın isteniyor gibi.

---

1. $N_{a,0}=\{a\}$ olduğu için $b\neq0$ olması isteniyor, aksi halde ayrık topoloji elde ediliyor. EK: o zaman açık kümeler sonsuz olmuyor.
2. $N_{a,b}=N_{a,-b}$ olduğu için $b>0$ şeklindeki kümeler düşünmek yeterli.
3. $N_{a,1}=\mathbb{Z}$  olduğu için (ve diğer kümelerin birleşimi zaten tüm uzayı verdiği için) bir bazda, tüm uzay olmasa da olur.

 

---

Aşağıdaki linke de bakabilirsiniz.

 

https://matkafasi.com/108192/topoloijk-uzaylarda-bazlara-dair?show=108192#q108192