Topoloji sorusu

Question

Üç elemanlı bir küme üzerinde regüler olmayan,normal ve bağlantılı olan 4elemanlı tüm topolojileri (eğer varsa)yazınız.

Öncelikle her normal uzay regüler uzay değildir.Bunu biliyorum.

tanımlarıda biliyorum fakat üç elemanlı bir küme üzerinde regüler olmayan normal ve bağlantılı olan dört elemanlı bir topoloji oluşturulabilir mi?

Comments

Üç elemanlı bir küme üzerinde yazılabilecek $4$ elemanlı tüm topolojileri yazılabilir misin?

---

Emin değilim ama mesela $X=\{1,2,3\}$ alsam kümemi.

$4$ elemanlı topolojileri: $$\tau_1=\{ \emptyset ,X,\{1\},\{1,2\}\}$$
$$\tau_2=\{\emptyset,X,\{2\},\{2,3\}\}$$
$$\tau_3= \{ \emptyset ,X,\{3\},\{2,3\}\}$$
bunları bulabildim.Umarım doğrudur.

---

Daha var. Biraz daha düşün.

---

$\{\emptyset\}$ değil sadece $\emptyset$ yazmalısın.

---

$$T_{4}=\{\emptyset ,X, \{1\},\{2,3\}\}$$
$$T_{5}=\{\emptyset ,X,\{2\},\{1,3\}\}$$
$$T_{6}=\{\emptyset ,X,\{3\},\{1,2\}\}$$

---

Hala var. Düşünmeye devam.

---

$$T_{7}=\{\emptyset ,X,\{1\},\{2\}\}$$
$$T_{8}=\{\emptyset ,X, \{1\},\{3\}\}$$
$$T_{9}=\{\emptyset ,X ,\{2\},\{3\}\}$$
bu kadar bulabildim

---

Son yazdığın $3$ aile topoloji mi?

---

Hayır şu anda fark ettim.kesişimşeri boş lüme fakat birleşimleri olmadığı için değil

---

Güzel. Şimdi dikkat edersen $(X,\tau_1),$ $(X,\tau_2)$ ve $(X,\tau_3)$ topolojik uzayları birbiriyle homeomorf. Öte yandan $(X,\tau_4),$ $(X,\tau_5)$ ve $(X,\tau_6)$ topolojik uzayları da birbirine homeomorf. Dolayısıyla her iki gruptan birer topolojik uzay alman yeterli. Yani topu topu iki topolojik uzaya bakacaksın. Seçeceğin topolojik uzaylara göre şimdi sorunu yanıtlamayı deneyebilirsin.

---

Yani şimdi diyelimki $$(X,T_{1})$$ ve $$(X,T_{5})$$ i almak istedim.Bunlara ne yapmam gerekiyor. $$T_{5}$$ bir topoloji değildi.

---

$T_7,T_8$ ve $T_9$ topoloji değil. Diğer yazdıkların topoloji. Şimdi ilk alacağın topolojik uzayın regüler, normal ve bağlantılı olup olmadığına bakın.

---

Ben şimdi $$(X,T_{1})$$ i aldım.

Önce regülerliğine baktım.Regüler değil.

$$K_{T}=\{X, \emptyset ,\{2,3\},\{3\}\}$$
{2,3},1için $$\{2,3\}\subseteq X$$ ,1€{1}dir. $$X \cap\{1\} \not= \emptyset$$
aynı şekilde diğerleride devam ediyor bu durumda $$(X,T_{1})$$ regüler değildir.

Bağlantılı olup olmadağına bakarsak $$K_{T_{1}}$$ deki $$\{2,3\}\cap\{3\}\not=\emptyset$$

olduğundan bağlantılıdır.Fakat normalliği bulamadım

---

Çok güzel. Normal uzay ne demek? Tanımını yazar mısın?

---

(X,T) topolojik uzay $$F_{1}$$ ve $$F_{2}$$ ,X uzayının her farklı ayrık kapalı alt kümesini göstermek üzere, $$F_{1}\subset U$$ , $$F_{2}\subset V$$ ve $$U\cap V=\emptyset$$ olacak şekilde U,V€Z varsa (X,T) topolojik uzayına normal uzay denir.

o zaman normalliğer bakarken $$K_{T}$$ daki mesela {2,3} ü alalım $$T_{1}$$ de geriye {1} kalıyor $$\{2,3\}\cap \{1\}=\emptyset$$ olduğundan normaldir oluyor.

---

Sizin de ifade ettiğiniz gibi topolojik uzayda her ayrık kapalı küme çifti için ayrık açık komşulukların var olduğunu göstermek gerekir uzayın normal olduğunu göstermek için. $(X,\tau_1)$ topolojik uzayında ayrık kapalı küme çiftlerini yazar mısın?

---

Kapalı küme çiftleri

{2,3},{1}
{3},{1,2}

---

$(X,\tau_1)$ topolojik uzayının ayrık kapalı küme çiftleri bunlar değil.

---

Ya ben sadece X ve boş kümeden Farklı ne  kapalı ne de açıl küme yok ama sizin dediğinizi anlamadım

---

$X=\{a,b,c\}$  ve  $\tau_1=\{ \emptyset ,X,\{1\},\{1,2\}\}$ olmak üzere bu uzayın kapalıları yani $\tau_1\mbox{-}$kapalı kümeler $\emptyset, \ X, \ \{2,3\}$  ve  $\{3\}$  kümeleri olmaz mı?

---

Evet öyle öyle oluyor

---

Bunlardan ayrık olan çiftler hangileri olur?

---

X ve boş küme mi?

---

Bir tanesi o. Başka yok mu?

---

O zaman {2,3} ve {3} mü?

---

Hem kapalı hem de ayrık olacak. Senin yazdığın ayrık değil.

---

Başka yok gibi ama boş küme ve {2,3} olabilir mi?

---

Evet Doğru. Başka yok mu?

---

O halde boş küme ve {3} de olur

---

Şimdi bu tüm ayrık kapalı küme çiftleri için bu kümelerin ayrık açık komşuluklarının var olup olmadığını kontrol eder misin?

---

Onu nasıl kontrol etmem gerekiyor?

---

Mesela $\emptyset$ ile $X$ kümesini ele alalım. Boşkümeyi kapsayan ve $X$ kümesini kapsayan ayrık açık kümeler var mı? Benzer işi diğer ayrık kapalı küme çiftleri için de yapacaksın. Her ayrık kapalı küme çifti için bu kapalı kümeleri ayrı ayrı kapsayan ve kesişimleri boş olan ayrık açık kümeler bulabiliyorsan normal uzay tanımı gereği uzaya normal uzay diyeceksin. En az bir ayrık kapalı küme çifti için bulamazsan o zaman uzaya normal uzay değil diyeceksin.

---

Yani bu durumda $$\emptyset\cap\{3\}=\emptyset$$ olduğundan normaldir oluyor.