Bağlantılı topolojik grubun ayrık normal alt grubu merkezdedir.

Question

$G$ bir topolojik grup ve $H,\ G$ nin normal bir alt grubu olsun.

Eğer $G$ bağlantılı ve $H$ (alt uzay topolojisine göre) ayrık ise, $H\subseteq Z(G)$ ($Z(G):\ G$ nin merkezi) olduğunu gösterin. (ayrık yerine, tamamen bağlantısız olabilir)

Comments

Topolojik grup tanımı:

$G$ hem bir grup hem de bir topolojik uzay ve

$G\times G\to G,\ (g,h)\mapsto gh^{-1}$  ($G\times G$ de çarpım topolojisi ile) sürekli bir dönüşüm

ise $G$ bir topolojik gruptur deriz.

Answer 1

$a\in H$ olsun.

$f_a:G\to G,\ f_a(g)=gag^{-1}$ olsun. Topolojik grup tanımından, $f_a$ süreklidir (bunu eksiksiz göstermek de bir soru olabilir)

$H,\ G$ nin normal alt grubu olduğu için, $f_a(G)\subseteq H$ olur.

$G$ bağlantılı ve $f_a$ sürekli olduğundan $f_a(G)$ bağlantılıdır.

$H$ ayrık (veya tamamen bağlantısız) uzay  olduğu için $f_a(G)$ tek nokta olmak zorundadır.

$a\in G$ ve $f_a(a)=a$ olduğundan, $f_a(G)=\{a\}$, yani $\forall g\in G$ için $gag^{-1}=a$ olur.

Bu da, $a\in Z(G)$ olması demektir.

$a,\ H $ nin herhangi bir elemanı olduğu için, $H\subseteq Z(G)$ olduğu gösterilmiş oldu.