Question

$\emptyset\neq A\subseteq\mathbb{R}$ ve üstten sınırlı olmak üzere $$(\sup A=x)(x\notin A)\Rightarrow x\in D(A)$$ olduğunu gösteriniz. $D(A) : A$ kümesinin tüm yığılma noktalarının oluşturduğu küme. 

Answer 1

$\sup A=x\Rightarrow (\forall\epsilon>0)(\exists a_{\epsilon}\in A)(x-\epsilon<a_{\epsilon}\leq x)$

 

$\left.\begin{array}{rr}\Rightarrow (\forall\epsilon>0)(a_{\epsilon}\in (x-\epsilon, x+\epsilon)\cap A) \\ \\ x\notin A\end{array}\right\}\Rightarrow$

 

$\Rightarrow(\forall\epsilon>0)(a_{\epsilon}\in [(x-\epsilon,x)\cup (x, x+\epsilon)]\cap A)$

 

$\Rightarrow(\forall\epsilon>0)([(x-\epsilon,x)\cup (x,x+\epsilon)]\cap A\neq \emptyset)$

 

$\Rightarrow x\in D(A).$

Comments

Hocam ben yazarken sizde yazıyormuşsunuz sanırım ama cevabınız görünmüyor.

Answer 2

$\left.\begin{array}{rr} \sup A = x \Rightarrow (\forall\epsilon >0)(\exists a\in A)(x- \epsilon < a) \\ \\ \sup A = x \Rightarrow (\forall a\in A)(a \leq x) \overset{ \epsilon> 0} \Rightarrow a < x+ \epsilon  \end{array}\right\} \Rightarrow (\forall \epsilon >0)(\exists a\in A)(x- \epsilon < a < x+ \epsilon)$

$\Rightarrow (\forall \epsilon >0)(\exists a\in A)(a\in(x- \epsilon,x+ \epsilon)) \Rightarrow \begin{array}{cc} \\  \left.\begin{array}{rr} (\forall \epsilon >0)((x- \epsilon,x+ \epsilon) \cap A \neq\emptyset ) \\ x\notin A \end{array}\right\} \Rightarrow \end{array}$

$\Rightarrow (\forall \epsilon >0)((x- \epsilon , x+ \epsilon) \cap (A \setminus \{ x \}) \neq\emptyset)$

$\Rightarrow x \in D(A).$