Question

$\mathbb{R}$ gerçel sayılar kümesi ve $\tau=\left\{A\big{|}|\setminus A|\leq\aleph_0\right\}\cup\{\emptyset\}$ olmak üzere $(\mathbb{R},\tau)$ topolojik uzayının kompakt (tıkız) olmadığını gösteriniz.

Answer 1

$$\mathcal{A}:=\left\{\mathbb{R}\setminus (\mathbb{N}\setminus\{n\})\big{|}n\in\mathbb{N}\right\}=\left\{(\mathbb{R}\setminus \mathbb{N})\cup \{n\}\big{|}n\in\mathbb{N}\right\}\subseteq\tau$$ ve $$\cup\mathcal{A}=\mathbb{R}$$ olduğundan $\mathcal{A}$ ailesi, $\mathbb{R}$ kümesinin bir $\tau$-açık örtüsüdür. Ancak bu örtünün sonlu bir altörtüsü yoktur. (Neden?) Dolayısıyla $\mathbb{R}$ kümesi $\tau$-kompakt değil yani $(\mathbb{R},\tau)$ topolojik uzayı kompakt uzay değildir.

Comments

Neden sorusuna aşağıdaki verilen cevap yanlış olur mu hocam?

$\mathcal{A}^*\subseteq\mathcal{A}, \ |\mathcal{A}^*|<\aleph_0 \  ve \ \mathbb{R}=\bigcup\mathcal{A}^* \text{ olduğunu varsayalım.}$ Yani $\mathcal{A}$ ailesinin sonlu bir altörtüsü olduğunu varsayalım.

$(\mathcal{A}^*\subseteq\mathcal{A})(|\mathcal{A}^*|<\aleph_0) \Rightarrow   \begin{array}{c} \\ \\ \left.\begin{array}{rr} (\exists i\in\{1,2,...,k\})(\mathcal{A}^*={\{\{n_i\}\big{|} i\in\{1,2,...,k\},\ n\in\mathbb{N}\}}) \\ \\ \mathbb{R}=\bigcup\mathcal{A}^* \end{array} \right\} \Rightarrow \end{array}$

$\Rightarrow \begin{array}{c} \\ \\  \left.\begin{array}{rr} |\mathbb{R}|<\aleph_0 \\ \\ |\mathbb{R}|>\aleph_0 \end{array}\right\} \Rightarrow \text{Çelişki.} \end{array}$

---

Şöyle yapabiliriz Hakan.

$\mathcal{A}^*\subseteq\mathcal{A}$, $|\mathcal{A}^*|<\aleph_0$ ve $\mathbb{R}=\bigcup\mathcal{A}^*$  olduğunu yani $\mathcal{A}$ ailesinin sonlu bir altörtüsünün olduğunu varsayarsak

$(\mathcal{A}^*\subseteq\mathcal{A})(|\mathcal{A}^*|<\aleph_0) \Rightarrow (\exists \{n_1,n_2,\ldots,n_k\}\subseteq \mathbb{N}\})(\mathcal{A}^*=\{(\mathbb{R}\setminus\mathbb{N})\cup{\{n_i\}\big{|} i\in\{1,2,...,k\}\}})$

$\left.\begin{array}{rr} \Rightarrow (n:=\max\{n_1,n_2,\ldots,n_k\}+1\in\mathbb{N})(n\notin\cup\mathcal{A}^*) \\ \\  \cup\mathcal{A}^*=\mathbb{R} \end{array}\right\}\Rightarrow (n\in\mathbb{N})(n\notin\mathbb{R})$ 

çelişkisini elde ederiz.

---

 Belirlediğiniz $\mathcal{A}^*$ sonlu değil ama hocam.

---

Neden? $\mathcal{A}^*$ ailesinin $k$ tane elemanı yok mu?

---

Aaa evet hocam ya anladım şimdi.