Öncelikle sonunda sabit dizi tanımını hatırlayalım.
Tanım: X≠∅ küme ve (xn)n∈XN olsun.
(xn)n, sonunda sabit:⇔(∃K∈N)(n≥K⇒xn=xK)
Şimdi kanıta geçebiliriz.
Kanıt: (⇒): (xn)n∈RN yakınsak olsun.
(xn)n, yakınsak⇒(∃a∈R)(xn→a)(xn)n∈RN⇒|{xn|xn≠a}|≤ℵ0⇒R∖{xn|xn≠a}∈U(a)}⇒
⇒(∃K∈N)(n≥K⇒xn∈R∖{xn|xn≠a})
⇒(∃K∈N)(n≥K⇒xn∉{xn|xn≠a})
⇒(∃K∈N)(n≥K⇒xn=a).
(⇐): (xn)n, sonunda sabit olsun.
(xn)n, sonunda sabit⇒(∃K∈N)(n≥K⇒xn=xK)U∈U(xK)}⇒
⇒(∃K∈N)(n≥K⇒xn∈U).