Bir $(a,b)$ noktasında diferansiyellenebilen ama o noktada kısmi türevleri sürekli olmayan bir $f(x,y)$ fonksiyonu bulunuz.

Question

İlgili cevapdaki 

 "Ama bu teoremin karşıtı doğru bir iddia değildir."

iddiasını (bir örnek ile) kanıtlayınız. 

($f(x,y),\ (a,b)$ merkezli bir dairede kısmi türevlere sahip olmalı)

Answer 1

$$f(x,y)=\left\{\begin{array}{ccc} (x^2+y^2)\sin\left(\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\right) & , & (x,y)\neq (0,0) \\   0 & , & (x,y)=(0,0) \end{array}\right.$$ kuralı ile verilen $$f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$$ fonksiyonu $(0,0)$ noktasında diferensiyellenebilir olmasına karşın $$\frac{\partial f}{\partial x}$$  ve $$\frac{\partial f}{\partial y}$$ kısmi türevleri $(0,0)$ noktasında sürekli değildir. Gerekçelerini okura bırakalım.

Answer 2

$\phi:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\quad\phi(x)=\begin{cases}x^2\sin\frac1x\ \ x\neq0\\0\qquad\quad\ x=0\end{cases}$ olsun.

İddia: $\phi$ tüm $\mathbb{R}$ de türevlenebilirdir ve $\phi',\ 0$ da süreksizdir. 

($\lim_{x\to0}\phi'(x)$ in var olmadığını siz gösterin)

$\forall x,y\in\mathbb{R}$ için $f(x,y)=\phi(x)$ olsun. $\frac{\partial f}{\partial x}=\phi'(x)$ ve $\frac{\partial f}{\partial y}=0$ olduğu kolayca görülür.

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)-(0+0(x-0)+0(y-0))}{\sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2}}=\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\phi(x)}{\sqrt{x^2+y^2}}=0$$ dir.

($f(x,y)$ nin sadece $x$ e bağlı olmasını istemiyorsak $f(x,y)=\phi(x)+\phi(y)$ alabiliriz)