Question

$$\int_{2}^{4}\frac{\sqrt{\ln(9-x)}}{\sqrt{\ln(9-x)}+\sqrt{\ln(x+3)}}dx=?$$

Answer 1

$$I=\int_{2}^{4}\frac{\sqrt{\ln(9-x)}}{\sqrt{\ln(9-x)}+\sqrt{\ln(x+3)}}dx$$ integralinde

$$9-x=y+3$$ dönüşümünü uygularsak $$-dx=dy$$ olur. Ayrıca $$x=2 \ \text{ için } \  y=4$$ ve $$x=4 \text{ için } y=2$$ elde edilir. Bu bilgileri düzenlersek $$I=\int_{4}^{2}\frac{\sqrt{\ln(y+3)}}{\sqrt{\ln(y+3)}+\sqrt{\ln(9-y)}}(-dy)=\int_{2}^{4}\frac{\sqrt{\ln(y+3)}}{\sqrt{\ln(y+3)}+\sqrt{\ln(9-y)}}dy$$ yani $$I=\int_{2}^{4}\frac{\sqrt{\ln(x+3)}}{\sqrt{\ln(x+3)}+\sqrt{\ln(9-x)}}dx$$ olur. Buradan da

$$I+I=\int_{2}^{4}\left(\frac{\sqrt{\ln(9-x)}}{\sqrt{\ln(9-x)}+\sqrt{\ln(x+3)}}+\frac{\sqrt{\ln(x+3)}}{\sqrt{\ln(x+3)}+\sqrt{\ln(9-x)}}\right)dx$$

$$\Rightarrow$$

$$2I=\int_{2}^{4}dx$$ $$\Rightarrow$$ $$I=1$$ elde edilir.