Question

$$\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\sqrt{x^2+1+\sqrt{x^4+x^2+1}}dx=?$$

Answer 1

İlk gözlemimiz, terim ekleyip çıkararak

$$x^4 + x^2 + 1 = (x^4 + 2x^2 + 1) - x^2 = (x^2 +1)^2 - x^2 = (x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)$$

biçiminde çarpanlara ayırmadır. Ayrıca $(x^2 - x + 1) + (x^2 + x + 1) = 2(x^2 + 1)$ olduğuna da dikkat edersek, $a,b>0$ gerçel sayıları için temel $\sqrt{a+2\sqrt{b}} = \sqrt{m} + \sqrt{n}$ eşitliği ile ilgisini kurabiliriz. Burada $m,n>0$ sayılarının; $a=m+n$ ve $b=m\cdot n$ eşitliğini sağlayacağını varsayıyoruz. Bunları gördükten sonra, integralin değerine $I$ diyelim. $\sqrt{2}I$ ile ilgileneceğiz. İntegrand şöyle olur:

$$\sqrt{(2x^2+2)+2\sqrt{x^4+x^2+1}}$$

Bunu, yukarıdaki köklü ifade eşitliğinden,

$$\sqrt{x^2-x + 1} + \sqrt{x^2 + x + 1}$$

biçiminde yazabiliriz.

Dolayısıyla

$$\sqrt{2} I = \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\sqrt{x^2 - x +1}+\sqrt{x^2 + x+1}dx  \tag{1}$$

ifadesine ulaşırız.

İntegrand $\sqrt{x^2 + 1}$ iken $x=\tan \theta$ dönüşümü yaparak belirsiz integrali hesaplayabildiğimiz teorik bilgisine de sahibiz. Çeşitli değişken değiştirmelerle $(1)$ integralinin integradını da iki parçaya ayırıp her birini $\sqrt{x^2 + 1}$ biçimine dönüştürebiliriz. Bu kısımlardaki işlemleri manuel yapmak için biraz tembel olduğum için wolfram açarak sonucu yazıyorum:

$$I = \dfrac{2 \sqrt{7} + 3 \sinh^{-1}(\frac{2}{\sqrt{3}})}{4 \sqrt{2}} ≈1.4587$$