$\sup \{\sin n:n\in\mathbb{N}\}=1$ olduğunu gösteriniz

Question

İlgili soruda $\mathbb{Z}$ yerine $\mathbb{N}$ olsa da sonucun değişmediğini gösteriniz.

Comments

Eşitliğin bir yönü için şunu yazabiliriz. $$\mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z}$$ olduğundan $$\{\sin n |n\in \mathbb{N}\}\subseteq\{\sin n |n\in \mathbb{Z}\}$$ olur. Dolayısıyla $$\sup\{\sin n |n\in \mathbb{N}\}\leq\sup\{\sin n |n\in \mathbb{Z}\}=1$$ elde edilir.

Answer 1

$\varepsilon>0$ verilsin ($\varepsilon<1$ varsayabiliriz, aksi halde işimiz çok kolay)

Önceki sorudaki gibi, $|\sin m-1|<\frac12\varepsilon$ olacak şekilde bir $m\in\mathbb{Z}$ bulabiliriz.

Eğer bu $m\geq0$ ise işimiz bitmiştir ($|\sin m-1|<\frac12\varepsilon<\varepsilon$).

$m<0$ ise, (Şu sorudan) $H=<m-1,2\pi>,\ \mathbb{R}$ de yoğun olduğu için (neden?),$0< |(m-1)l+2k\pi|<\frac12\varepsilon$ olacak şekilde $l,k\in\mathbb{Z}$ vardır ve $l\neq0$ olur (niye?)

$|(m-1)(-l)+2(-k)\pi|<\frac12\varepsilon$ olduğu için $l<0$ varsayabiliriz.

$n=m+(m-1)l\in\mathbb{N}$ olur.

$\begin{align*} |\sin n-1|&=|(\sin n-\sin m)+(\sin m -1)|\\&\leq|\sin n-\sin m|+|\sin m -1|\\&=|\sin(m+(m-1)l) -\sin m|+|\sin m-1|\\&=|\sin(m+(m-1)l+2k\pi) -\sin m|+|\sin m -1|\\&\leq|(m+(m-1)l+2k\pi) - m|+|\sin m-1|\\&=|(m-1)l+2k\pi|+|\sin m-1|<\textstyle\frac12\varepsilon+\frac12\varepsilon=\varepsilon\end{align*}$

 

Comments

Bu önermenin de, kompakt topolojik gruplarda doğru olan genel bir şekli vardır.