Tam metrik uzayların izometrik görüntüsü kapalı olur

Question

$(X,d)$ ve $(Y,d')$ iki metrik uzay, $f:X\to Y$ bir izometri  olsun.

(İzometri: $\forall x_1,x_2\in X$ için $d'(f(x_1),f(x_2))=d(x_1,x_2)$) 

$(X,d)$ bir tam metrik uzay ise $f(X)$ in $Y$ nin kapalı bir alt kümesi olduğunu gösteriniz.

Answer 1

Ben de kanıtın (Doğan hocamınki ile aynı) formel şeklini ekleyeyim. Önce şu teoremi hatırlatalım.

Teorem: $(X,d)$ metrik uzay, $A\subseteq X$ ve $x\in X$ olmak üzere

$$A=\overline{A}\Leftrightarrow \left(\forall \langle x_n\rangle\in A^{\mathbb{N}}\right)(x_n\to x\Rightarrow x\in A).$$

Şimdi de bu teoremi kullanarak asıl teoremi kanıtlayalım. Amacımız $f[X]$ kümesinin $(Y,d')$ metrik uzayında kapalı bir küme olduğunu göstermek. Bunun için de üstteki teoremden faydalanacağız.

$\langle y_n\rangle\in f[X]^{\mathbb{N}}$  (yani  $\langle y_n\rangle,  \ f[X]$'de bir dizi),  $y\in Y$  ve  $y_n\to y$ olsun. $(y\in f[X]$ olduğunu gösterirsek kanıt biter.$)$

$\left.\begin{array}{rr} \langle y_n\rangle\in f[X]^{\mathbb{N}} \\ \\ f, \text{ izometri}\Rightarrow f, \text{ birebir}\end{array}\right\}\Rightarrow (\forall n\in\mathbb{N})(\exists !x_n\in X)(y_n=f(x_n))$

$\left.\begin{array}{rr}\Rightarrow (\forall n,m\in\mathbb{N})(d'(y_n,y_m)=d'(f(x_n),f(y_m))) \\  \\ f, \text{ izometri}  \end{array}\right\}\Rightarrow$

$\left.\begin{array}{r} \Rightarrow (\forall n,m\in\mathbb{N})(d'(y_n,y_m)=d(x_n,x_m))  \\ \\ \langle y_n\rangle, \text{ yakınsak}\Rightarrow \langle y_n\rangle, \text{ Cauchy dizisi} \end{array} \right\} \overset{d\sim d'}{\Rightarrow} \begin{array}{r} \\ \\ \left. \begin{array}{rr}  \langle x_n\rangle, \text{ Cauchy dizisi} \\ \\ (X,d), \text{ tam uzay}\end{array} \right\} \Rightarrow \end{array}$

$\left.\begin{array}{r}\Rightarrow (\exists x\in X)(x_n\to x)  \\ \\ f, \text{ izometri}\Rightarrow f, \text{ sürekli} \end{array} \right\} \Rightarrow \begin{array}{r} \\ \\ \left. \begin{array}{cc}  f(x_n)\to f(x)\\ \\ (\forall n\in\mathbb{N})(y_n=f(x_n))(y_n\to y)\end{array} \right\} \Rightarrow y=f(x)\in f[X].\end{array}$

Not: $d\sim d': d$ ile $d'$ denk.

Answer 2

$<y_n>,\ \forall n\in\mathbb{N}$ için $y_n\in f(X)$ olacak şekilde yakınsak bir dizi ve $\lim\limits_{n\to\infty} y_n=y$ olsun. $y\in f(X)$ olduğunu göstermek yeterlidir.

 $<y_n>$ yakınsak olduğu için, bir Cauchy dizisidir. $\forall n\in\mathbb{N}$ için $f(x_n)=y_n$ olacak şekilde ( $f$, 1-1 olduğu için tek) bir $x_n\in X$ vardır. 

$f$ bir izometri olduğundan, $\forall n,m\in\mathbb{N}$ için $d(x_n,x_m)=d'(y_n,y_m)$ olur. Buradan da $<x_n>$ dizisinin de bir Cauchy dizisi olduğu görülür (Neden?).

 $X$ bir tam metrik uzay olduğundan $\lim x_n=x$ olacak şekilde (tek) bir $x\in X$ vardır. 

$f$ bir izometri olduğundan, aynı zamanda süreklidir (Neden?). 

Bu nedenle $\lim\limits_{n\to\infty} f(x_n)=f(x)$ olur. 

Ama metrik uzaylarda (daha genel olarak Hausdorff uzaylarda) limitin tekliğinden, $y=f(x)$ olmak zorundadır.