Question

$X$ ve $Y$ küme olmak üzere $$X\sim Y:\Leftrightarrow \left(\exists f\in Y^X\right)(f, \text{ bijektif})$$ ilişkisinin (bağıntısının) bir denklik bağıntısı olduğunu gösteriniz.

Answer 1

$$X\text{ küme}\Rightarrow I:X\to X, \ I(x)=x \text{ bijektif}\Rightarrow X\sim X$$ olduğundan $``\sim”$ bağıntısı yansıyandır$\ldots (1)$  

$-----------------------------------$

$X\sim Y$ olsun. 

$$X\sim Y\Rightarrow (\exists f\in Y^X)(f, \text{ bijektif})\Rightarrow (f^{-1}\in X^Y)(f^{-1}, \text{ bijektif})\Rightarrow Y\sim X$$  olduğundan $``\sim”$ bağıntısı simetriktir$\ldots(2)$

$-----------------------------------$

$X\sim Y$ ve $Y\sim Z$ olsun.

$$\left.\begin{array}{rr} X\sim Y\Rightarrow (\exists f\in Y^X)(f, \text{ bijektif}) \\ \\ Y\sim Z\Rightarrow (\exists g\in Z^Y)(g, \text{ bijektif}) \end{array}\right\}\Rightarrow (g\circ f\in Z^X)(g\circ f, \text{ bijektif})\Rightarrow X\sim Z$$  olduğundan $``\sim"$ bağıntısı geçişkendir$\ldots (3)$

$-----------------------------------$

$(1),(2),(3)\Rightarrow \sim, \text{ denklik bağıntısı}.$

Comments

Ellerinize ve emeklerinize sağlık Murad hocam.