Question

$a,b\in\mathbb{R}^{\geq 0}$ olmak üzere $$a\leq b\Leftrightarrow \sqrt{a}\leq\sqrt{b}\Leftrightarrow a^2\leq b^2$$ olduğunu gösteriniz.

Answer 1

$a\le b$ eşitşizliğinin her iki yanını sırasıyla  $a$  ve  $b$ pozitif sayıları ile çarptığımızda eşitsizlik yön değiştirmeyeceğinden (Bakınız) $$a^2\le ab\le b^2$$   ve geçişme özelliğinden (Bakınız $S_3$ önermesi) $$a^2\le b^2$$ olur. Tersine gitmek için eşitsizliği $b^2$  ve $a^2$ ile çarparız.

Varsayalım ki $\sqrt a \ge \sqrt b$ olsun. Bu durumda $$(\sqrt {a})^2=a\ge (\sqrt{b})^2=b$$ çelişkisi oluşur.

Answer 2

$a^2 \leq b^2 \iff b^2 - a^2 \geq 0 \iff (b-a)(b+a) \geq 0$ elde edilir. Bu aşamada ya $b+a>0$ ya da $b+a=0$ dır. $b+a=0$ ise $b=a=0$ olmalıdır ve $a \leq b$ sağlanmış olur. Dolayısıyla $b+a > 0$ halini inceleyelim. Bu durumda $(b-a)(b+a) \geq 0 \iff b-a \geq 0 \iff b \geq a$ elde edilir.

Bulduğumuz $a^2 \leq b^2 \iff a \leq b$ özelliğini negatif olmayan bu sayıların karekökü için de uygularsak, yani $a$ yerine $\sqrt{a}$, $b$ yerine de $\sqrt{b}$ koyarsak $a \leq b \iff \sqrt{a} \leq \sqrt{b}$ elde ederiz. İspat tamamlanmış olur.