Question

$f:\mathbb{R}\to\mathbb{Z}$ fonksiyonu sürekli ise $f$ fonksiyonunun sabit fonksiyon olduğunu gösteriniz.

Comments

Topoloji alışılmış topoloji mi alınıyor? 

---

Evet. Özel olarak bir topoloji belirtilmedikçe alışılmış topoloji alıyoruz.

Answer 1

$a$  bir reel sayı,  $\delta\gt 0$  olsun. $\epsilon$  sayisi  $0\lt \epsilon\le1$ olacak biçimde alalim. $f$ sürekli olduğundan  bir $x$   reel sayısı için $|x-a|\lt\delta$  iken  $|f(x)-f(a)|\lt\epsilon$ olmalidir. $f(x)$  ve  $f(a)$  farklı tamsayilari arasindaki fark $1$  den küçük olamayacağından yukardaki eşitsizliğin sağlanması için $f(x)=f(a)$ olmak zorundadir. Öyleyse $f$ fonksiyonu sabittir. İlgili soru

Answer 2

Başka bir yanıt:

Bağlantılılık, süreklilik altında korunur. $\mathbb{R}$ bağlantılı ve $f$ fonksiyonu sürekli olduğundan  $$f[\mathbb{R}]:=\{f(x)|x\in\mathbb{R}\}\subseteq\mathbb{Z}$$ görüntü kümesi de bağlantılıdır. $\mathbb{Z}$'nin bağlantılı altkümeleri, boşküme ve tek elemanlı kümeler olduğundan $c\in\mathbb{Z}$ olmak üzere  $$f[\mathbb{R}]=\emptyset \ \ \text{veya} \ \  f[\mathbb{R}]=\{c\}$$ olmalıdır. $\mathbb{R}\neq\emptyset$ ve $f$ fonksiyon olduğundan $$f[\mathbb{R}]=\emptyset$$ olamaz. Dolayısıyla 

$$f[\mathbb{R}]=\{c\}$$ olmalıdır. Yani her $x\in\mathbb{R}$ için  $$f(x)=c$$ yani $f$ fonksiyonu sabit olmalıdır.