Question

$S\subseteq\mathbb{R}^3$ çember olmak üzere $\mathbb{R}^3\setminus S$ kümesinin bağlantılı olduğunu gösteriniz.

Comments

Yol bağlantılı olduğunu göstermek (uzayda çizgiler düşünerek) kolay.

Answer 1

$P,Q\in\mathbb{R}^3\setminus S$ olsun. Aşağıdaki 6 durumdan (sadece) biri sağlanır:

1. $P,Q$ çemberin düzleminde, ikisi de çemberin içindedir.
   
2. $P,Q$ çemberin düzleminde, ikisi de çemberin dışındadır.
   
3. $P,Q$ çemberin düzleminde, biri çemberin içinde diğeri dışındadır.
   
4. $P,Q$ çemberin düzleminin dışında, ikisi de bu düzlemin aynı tarafındadır.
   
5. $P,Q$ çemberin düzleminin dışında, ikisi bu düzlemin farklı tarafındadır.
   
6. $P,Q$ dan biri çemberin düzleminde diğeri düzlemin dışındadır.

  Bu durumların her birinde, $P$ ile $Q$ noktalarını birleştiren (ve en çok 2 parçadan oluşan) bir kırık çizgi kolayca oluşturulur.

 Aynı adımlar ile, $S$ bir düzlemde kalan,  basit kapalı bir eğri ise de (Jordan ın Eğri Teoremini kullanarak) $P,Q\in\mathbb{R}^3\setminus S$ in yol bağlantılı olduğu gösterilmiş olur. 

Ama $S$ basit kapalı ama bir düzlemde kalmıyor ise iddia yine doğru oluyor ama ispatı bu kadar kolay değil.

Comments

Tekrara düşününce, 1,2 ve 3. durumları ayırmaya da gerek yok 

O durumlarda, düzlemin dışında bir $R$ noktası alıp $P$ ve $Q$ notalarını $R$ ile (düz bir çizgi ile) birleştirmek yeterli olur.