Question

Gerçel sayı sistemi nedir? Nasıl tanımlanır?

Comments

Arşimet özelliği şunu demektedir:

• 
  epsilon>0 ,ve her x elemenıdır R için öyle bir n elemanıdır N bulabiliyoruz ki
  
• 
  n.epsilon>x olsun
  
• 
  bunu ispatlamak için teoremin yanlış olduğunu varsayabiliriz
  
• 
  böyle bir varsayımda şunu elde ederiz demek ki n.epsilon<=(küçük eşittir)x
  
• 
  yani n<=x/epsilon dolayısıyla bu da doğal sayıların üstten sınırlı olduğunu bize söylemektedir 
  
• 
  ama bu da doğal sayıların yapısına terstir yani bir çelişkidir dolayısıyla teorem doğrudur
  
• 
  
  
  

---

Bu yazdıkların sorunun cevabı değil.

Answer 1

$\mathbb{R}$ bir küme$; \ ``+"\text{ ve } ``\cdot",$  adına sırasıyla toplama ve çarpma diyeceğimiz $\mathbb{R}$ kümesi üzerinde iki ikili işlem$; \ ``\leq", \ \mathbb{R}$ kümesi üzerinde bir bağıntı$; \ ``0" \text{ ve } \ ``1",$  adına $``$sıfır$"$ ve $``$bir$"$ diyeceğimiz $\mathbb{R}$ kümesinin iki elemanı olmak üzere 

$T_1)$ $(\forall x,y,z\in \mathbb{R})(x+(y+z)=(x+y)+z)$ 

$T_2)$ $(\forall x\in \mathbb{R})(x+0=0+x=x)$ 

$T_3)$ $(\forall x\in \mathbb{R})(\exists y\in \mathbb{R})(x+y=y+x=0)$ 

$T_4)$ $(\forall x,y\in \mathbb{R})(x+y=y+x)$ 

$Ç_1)$ $(\forall x,y,z\in \mathbb{R})(x\cdot (y\cdot z)=(x\cdot y)\cdot z)$ 

$Ç_2)$ $(\forall x\in \mathbb{R})(x\cdot 1=1\cdot x=x)$ 

$Ç_3)$ $(\forall x\in \mathbb{R}\setminus\{0\})(\exists y\in \mathbb{R})(x\cdot y=y\cdot x=1)$

$Ç_4)$ $(\forall x,y\in \mathbb{R})(x\cdot y=y\cdot x)$ 

$D)$ $(\forall x,y,z\in \mathbb{R})(x\cdot (y+z)=x\cdot y + x\cdot z)$ 

$SB)$ $0\neq 1$ 

$S_1)$ $(\forall x\in \mathbb{R})(x\leq x)$ 

$S_2)$ $(\forall x,y\in \mathbb{R})[(x\leq y\wedge y\leq x)\Rightarrow x=y]$ 

$S_3)$ $(\forall x,y,z\in \mathbb{R})[(x\leq y\wedge y\leq z)\Rightarrow x\leq z]$ 

$S_4)$ $(\forall x,y\in \mathbb{R})(x\leq y\vee y\leq x)$ 

$TS)$ $(\forall x,y,z\in \mathbb{R})(x\leq y\Rightarrow x+z\leq y+z)$ 

$ÇS)$ $(\forall x,y,z\in \mathbb{R})[(x\leq y\wedge 0\leq z)\Rightarrow x\cdot z\leq y\cdot z]$

$SUP)$ $\mathbb{R}$ kümesinin boştan farklı ve üstten sınırlı her altkümesinin bir en küçük üstsınırı vardır.

önermelerini doğru kılan $$(\mathbb{R},+,\cdot,\leq,0,1)$$ altılısına Gerçel Sayı Sistemi; $\mathbb{R}$ kümesine Gerçel Sayılar Kümesi ve $\mathbb{R}$ kümesinin elemanlarına da Gerçel Sayı denir.

 

NOT:

1) $\ T_1,T_2,T_3$ koşullarını sağlayan $(X,\oplus)$ ikilisine GRUP;

2) $\ T_1,T_2,T_3,T_4$ koşullarını sağlayan $(X,\oplus)$ ikilisine DEĞİŞMELİ GRUP;

3)  İlk 5 koşula ilave olarak (D+sağdan dağılma) koşullarını da sağlayan $(X,\oplus,\odot)$ üçlüsüne HALKA;

4)  İlk 10 koşulu sağlayan $(X,\oplus,\odot)$ üçlüsüne CİSİM;

5)  İlk 16 koşulu sağlayan $(X,\oplus,\odot)$ üçlüsüne de SIRALI CİSİM adı verilir.