Question

$a,b\in\mathbb{R}$ ve $a<b$ olmak üzere $$(a,b)=\bigcup_{n\in\mathbb{N}} \left[a+\frac{b-a}{2n},b\right)$$ olduğunu gösteriniz.

Answer 1

$\mathcal{A}=\left\{\left[a+\frac{b-a}{2n},b\right)\Big{|}n\in\mathbb{N}\right\}$ diyelim.

$$\begin{array}{rcl}x\notin \bigcup \mathcal{A} & \Leftrightarrow & (\forall n\in\mathbb{N})\left(x\notin \left[a+\frac{b-a}{2n},b\right)\right) \\ \\ & \Leftrightarrow & (\forall n\in\mathbb{N})\left(x<a+\frac{b-a}{2n} \vee b\leq x\right) \\ \\ & \overset{?_1}{\Leftrightarrow} & \underset{x\leq a}{\underbrace{(\forall n\in\mathbb{N})\left(x< a+\frac{b-a}{2n}\right)}} \vee b\leq x \\ \\ & \overset{?_2}{\Leftrightarrow} & x\leq a \vee b\leq x \\ \\ & \Leftrightarrow & x\in (-\infty, a] \vee x\in [b,\infty) \\ \\ & \Leftrightarrow & x\in (-\infty, a]\cup [b,\infty) \\ \\ & \Leftrightarrow & x\notin (a,b).\end{array}$$