$a,b\in\mathbb{R}$ ve $a<b$ olmak üzere $$(a,b)=\bigcup_{n\in\mathbb{N}} \left(a,b-\frac{b-a}{2n}\right]$$ olduğunu gösteriniz.

Question

İlgili sorudaki bilgiyi kullanarak

$a,b\in\mathbb{R}$ ve $a<b$ olmak üzere $$(a,b)=\bigcup_{n\in\mathbb{N}} \left(a,b-\frac{b-a}{2n}\right]$$ olduğunu gösteriniz.

Answer 1

$\mathcal{A}=\left\{\left(a,b-\frac{b-a}{2n}\right]\Big{|}n\in\mathbb{N}\right\}$ diyelim.

$$(\forall n\in\mathbb{N})\left(b-\frac{b-a}{2n}<b\right)$$

$$\Rightarrow$$

$$(\forall n\in\mathbb{N}) \left(\left(a,b-\frac{b-a}{2n}\right] \subseteq (a,b)\right)$$

$$\Rightarrow$$

$$\cup_{n\in\mathbb{N}} \left(a,b-\frac{b-a}{2n}\right]=\bigcup\mathcal{A}\subseteq (a,b)\ldots (1)$$

Şimdi de

$$(a,b) \subseteq \bigcup\mathcal{A}$$ olduğunu gösterelim. Bunun için $$x\in (a,b)\Rightarrow x\in \bigcup\mathcal{A}$$ önermesinin doğru olduğunu veya bununla aynı anlama gelen $$x\notin \bigcup \mathcal{A}\Rightarrow x\notin (a,b)$$ önermesinin doğru olduğunu göstermeliyiz.

$x\notin \bigcup \mathcal{A}$ olsun.

$$x\notin \bigcup \mathcal{A}$$

$$\Rightarrow$$

$$(\forall n\in\mathbb{N})\left(x\notin \left(a,b-\frac{b-a}{2n}\right]\right)$$

$$\Rightarrow$$

$$(\forall n\in\mathbb{N})\left(x\leq a \vee b-\frac{b-a}{2n}\leq x\right)$$

$$\overset{?_1}{\Rightarrow}$$

$$x\leq a \vee \underset{b\leq x}{\underbrace{(\forall n\in\mathbb{N})\left(b-\frac{b-a}{2n}\leq x\right)}}$$

$$\overset{?_2}{\Rightarrow}$$

$$x\leq a \vee b\leq x$$

$$\Rightarrow$$

$$x\in (-\infty, a] \vee x\in [b,\infty)$$

$$\Rightarrow$$

$$x\in (-\infty, a]\cup [b,\infty)$$

$$\Rightarrow$$

$$x\notin (a,b).$$

Comments

$?_2$ olduğu yerdeki geçişin gerekçesi için ilgili soruya bakınız.

$?_1$ olduğu yerdeki geçişin gerekçesi için buradaki linki tıklayın.

---

Bu ispatta $p \implies q \equiv q' \implies p'$ karşıt ters kullanımı etkili ve güzel oldu.