Kuratowski Kapanış Operatörü üzerine-II

Question

$X\neq \emptyset$ herhangi bir küme olmak üzere öyle bir $$\alpha :2^X\to 2^X$$ fonksiyonu bulunuz ki ilgili sorudaki $K_1,K_2$ ve $K_3$ koşulları sağlansın fakat $K_4$ koşulunu sağlanmasın.

Comments

$X$, tek elemanlı ise $K_1$ ve $K_2$ ü sağlayan tek bir fonksiyon vardır.

 ($k(A)=A,\quad \forall K\in2^X$) o da $K_4$ ü sağlar. 

Soruda $|X|>1$ koşulu olmalı.

---

$|X|=2$ iken de böyle bir fonksiyon olamaz. 

(Çünki $K_4$ ün sağlanmaması için bir $\emptyset\neq A\subsetneqq k(A)\subsetneqq  k(k(A))\subseteq X$ olacak şekilde bir $A\subset X$ bulmak gerekir)

$|X|=3$ iken var.

$X=\{a,b,c\}$ olsun. $k(\phi)=\phi,\ k(\{a\})=\{a,c\},\ k(\{b\})=\{a,b\},\ k(\{c\})=\{b,c\},\  |A|>1 \text{ ise }k(A)=X$ olsun.

$K_1,K_2,K_3$ ün sağlandığı zor değil. Ama $k(k(\{a\}))=k(\{a,c\})=X\neq k(\{a\})$

---

Doğan hocam sizin vermiş olduğunuz örnekten esinlenerek $$k(A):=\left\{\begin{array}{ccc} \emptyset & , & A=\emptyset \\  \mathbb{R}\setminus \{x+1\} & , & A=\{x\} \\ \mathbb{R} & , & |A|>1\end{array}\right.$$  kuralı ile verilen $$k:2^{\mathbb{R}}\to 2^{\mathbb{R}}$$ fonksiyonunu bulduk. $k$ fonksiyonu istenen koşulları sağlıyor.

Answer 1

$$k(A):=\left\{\begin{array}{ccc} \emptyset & , & A=\emptyset \\  \mathbb{R}\setminus \{x+1\} & , & A=\{x\} \\ \mathbb{R} & , & |A|>1\end{array}\right.$$  kuralı ile verilen $$k:2^{\mathbb{R}}\to 2^{\mathbb{R}}$$ fonksiyonu istenen koşulları sağlar.

$k$ fonksiyonunun ilgili sorudaki $K_1$ ve $K_2$ koşullarını sağladığı açık.

$K_3$ koşuluna bakalım:

$A=\emptyset$ veya $B=\emptyset$ ise $k(A\cup B)=k(A)\cup k(B)$ koşulunun sağlandığı açık.

$A=B$ ise $k(A\cup B)=k(A)\cup k(B)$  koşulunun sağlandığı açık.

$A\neq \emptyset ,$ $B\neq\emptyset$ ve $A\neq B$ olsun.

$$(A\neq \emptyset)(B\neq\emptyset)(A\neq B)$$ $$\Rightarrow$$ $$[(A=\{x\})(B=\{y\}) \vee (A=\{x\})(|B|>1) \vee (|A|>1)(B=\{x\}) \vee (|A|>1)(|B|>1)]$$

1. Durum: $A=\{x\}$ ve $B=\{y\}$ olsun. $(x\neq y)$

$k(A\cup B)=k(\{x\}\cup \{y\})=k(\{x,y\})=\mathbb{R}=(\mathbb{R}\setminus \{x+1\})\cup (\mathbb{R}\setminus\{y+1\})=k(\{x\})\cup k(\{y\})=k(A)\cup k(B).$

2. Durum: $A=\{x\}$ ve $|B|>1$ olsun.

$k(A\cup B)=k(\{x\}\cup B)=\mathbb{R}=(\mathbb{R}\setminus \{x+1\})\cup \mathbb{R}=k(\{x\})\cup k(B)=k(A)\cup k(B).$

3. Durum: 2. durum ile aynı.

4. Durum: $|A|>1$ ve $|B|>1$ olsun.

$k(A\cup B)=\mathbb{R}=\mathbb{R}\cup \mathbb{R}=k(A)\cup k(B).$

Ancak $k$ fonksiyonu $x\in\mathbb{R}$ olmak üzere $$k(k(\{x\}))=k(\mathbb{R}\setminus\{x+1\})=\mathbb{R}\neq \mathbb{R}\setminus\{x+1\}=k(\{x\})$$ olduğundan $K_4$ koşulunu sağlamaz.