Kuratowski Kapanış Operatörü üzerine-I

Question

$X\neq \emptyset$ küme olmak üzere $k:2^X\to 2^X$ fonksiyonu her $A,B\in 2^X$ için

 

$K_1)$ $k(\emptyset)=\emptyset$

 

$K_2)$ $A\subseteq k(A)$

 

$K_3)$ $k(A\cup B)=k(A)\cup k(B)$

 

$K_4)$ $k(k(A))=k(A)$

 

koşullarını sağlayan $k$ fonksiyonuna Kuratowski Kapanış Operatörü deniyor.

 

Şimdi soru şu:

 

$\mathbf{a)}$ $k$ fonksiyonu $K_1, K_2$ ve $K_3$ koşullarını sağladığında $X$ kümesinin $k(\setminus A)=\setminus A$ koşulu sağlayan altkümelerinin oluşturduğu ailenin $X$ kümesi üzerinde bir topoloji olduğunu gösteriniz. $($Yani $\tau =\left\{A|k(\setminus A)=\setminus A\right\}\subseteq 2^X$ ailesinin $X$ kümesi üzerinde bir topoloji olduğunu gösteriniz.$)$

 

$\mathbf{b)}$ $k$ fonksiyonu $K_1, K_2$ ve $K_3$ koşullarına ilave olarak $K_4$ koşulunu da sağladığında $k(A)=\overline{A}$  $(a$ şıkkında elde edilen $\tau$ topolojisine göre) olduğunu gösteriniz.

Answer 1

$\mathbf{a)}$ $\tau$ ailesinin topoloji olma koşullarını sağladığını gösterelim.

$\mathbf{T_1)}$ $k(\setminus X)=k(\emptyset)\overset{K_1}{=}\emptyset=\setminus X\Rightarrow X\in \tau.$

$\left.\begin{array}{rr} X\overset{K_2}{\subseteq}k(X) \\ \\ k\in \left(2^X\right)^{\left(2^X\right)}\Rightarrow k(X)\in 2^X\Rightarrow k(X)\subseteq X\end{array}\right\}\Rightarrow k(X)=X\Rightarrow k(\setminus \emptyset)=\setminus\emptyset\Rightarrow \emptyset\in\tau.$

$\mathbf{T_2)}$ $A,B\in\tau$ olsun.

$\left.\begin{array}{rr} A\in\tau\Rightarrow k(\setminus A)=\setminus A\\ \\ B\in\tau\Rightarrow k(\setminus B)=\setminus B\end{array}\right\}\Rightarrow \setminus (A\cap B)= (\setminus A)\cup(\setminus B)=k(\setminus A)\cup k(\setminus B)\overset{K_3}{=} k((\setminus A)\cup (\setminus B))=k(\setminus (A\cap B))$

$\Rightarrow A\cap B\in\tau.$

$\mathbf{T_3)}$ $\mathcal{A}\subseteq\tau$ olsun.

$A\in\mathcal{A}\subseteq\tau\Rightarrow \bigcap_{A\in\mathcal{A}}\left(\setminus A\right)\subseteq \setminus A\Rightarrow k(\bigcap_{A\in\mathcal{A}}\left(\setminus A\right)) \overset{*}{\subseteq} k(\setminus A)=\setminus A\Rightarrow k(\bigcap_{A\in\mathcal{A}}\left(\setminus A\right)) \subseteq \bigcap_{A\in\mathcal{A}}(\setminus A)$

$\Rightarrow k(\bigcap_{A\in\mathcal{A}}\left(\setminus A\right))=k(\setminus (\bigcup \mathcal{A})) \subseteq \setminus (\bigcup\mathcal{A})=\bigcap_{A\in\mathcal{A}}(\setminus A)\ldots (1)$

$\mathcal{A}\subseteq\tau \Rightarrow \bigcup\mathcal{A}\in 2^X\Rightarrow \setminus (\bigcup\mathcal{A})\in 2^X\overset{K_2}{\Rightarrow} \setminus (\bigcup\mathcal{A})\subseteq k(\setminus (\bigcup\mathcal{A})) \ldots (2)$

$(1),(2)\Rightarrow \setminus (\bigcup\mathcal{A})=k(\setminus (\bigcup\mathcal{A}))\Rightarrow\bigcup\mathcal{A}\in\tau.$

$(*):$ $A\subseteq B\Rightarrow A\cup B=B\Rightarrow k(A\cup B)=k(B)\overset{K_3}{\Rightarrow}  k(A)\cup k(B)=k(B)\Rightarrow k(A)\subseteq k(B).$

O halde $\tau$ ailesi, $X$ kümesi üzerinde bir topoloji yani $(X,\tau)$ ikilisi bir topolojik uzaydır. Bu topolojik uzayın kapalılarının oluşturduğu ailenin $$\mathcal{K}=\{A|A=k(A)\}$$ olduğu açıktır.

$\mathbf{b)}$ Şimdi de $$k(A)=\overline{A}$$ yani $$\mathcal{A}:=\{B|(A\subseteq B)(B\in\mathcal{K})\}$$ olmak üzere $$k(A)=\cap\mathcal{A}$$ olduğunu yani  $$k(A)=\min\mathcal{A}$$ olduğunu gösterelim. Bunun için $$k(A)\in\mathcal{A}$$ ve $$(\forall B\in\mathcal{A})(k(A)\subseteq B)$$ olduğunu göstermemiz gerekir.

$\left.\begin{array}{rr} A\in 2^X\overset{K_2}{\Rightarrow} A\subseteq k(A)\\ \\ k(k(A))=k(A)\Rightarrow k(A)\in\mathcal{K} \end{array}\right\}\Rightarrow k(A)\in\mathcal{A}\ldots (3)$

$B\in\mathcal{A}\Rightarrow (A\subseteq B)(B\in \mathcal{K})\overset{*}{\Rightarrow} k(A)\subseteq k(B)=B\ldots (4)$

$(3),(4)\Rightarrow k(A)=\min\mathcal{A}.$

Not: Buradaki minimum $\left(2^X,\subseteq\right)$ posetine göre hesaplanmaktadır.