Yardımcı elemanları keyfi uzunluğa sahip üçgenler mevcut mudur?

Question

Keyfi verilen pozitif $x,y,z$   sayıları için,

a) Kenarortay uzunlukları $x,y,z$   olan üçgen mevcut mudur?

b)Yükseklik uzunlukları $x,y,z$  olan üçgen mevcut mudur?

c) Açıortay uzunlukları $x,y,z$ olan üçgen mevcut mudur?

Answer 1

a) Kenarortay uzunluklarının  $x\lt y+z$ üçgen eşitsizliklerini sağlaması gerektiğinden böyle keyfi bir üçgen mevcut değildir.Bakınız

b) Yükseklik uzunluklarının $\dfrac{1}{h_a}\lt \dfrac{1}{h_b}+\dfrac{1}{h_c}$ eşitsizliklerini sağlaması gerektiğinden böyle keyfi bir üçgen mevcut değildir.Bakınız

c) Evet böyle bir üçgen mevcut ve tektir! Elimdeki kanıtını müsait bir zamanda ekleyebilirim umarım. Kanıt için The American Mathematical Monthly dergisinin vol 101, no:1 (Jan 1994) pp.58-60 sayısına bakılabilir.