$\mathbb{N}\times \mathbb{R}$ kümesi ile $\mathbb{R}$ kümesinin eşgüçlü olduğunu gösteriniz.

Question

Bu kümelerin eşgüçlü olduğunu gösterebilmek için aralarında birebir örten bir fonksiyon bulmamız gerekiyor. Ya da  $f:\mathbb{N}\times \mathbb{R}\to \mathbb{R}$  birebir ve $g:\mathbb{R}\to \mathbb{N}\times \mathbb{R}$ birebir olacak şekilde $f$ ve $g$ fonksiyonları yazabilirsek bu iki küme arasında birebir örten fonksiyon vardır demiş oluruz.

$g:\mathbb{R}\to \mathbb{N}\times \mathbb{R}, g(x)=(1,x)$ fonksiyonu birebirdir. Peki $f:\mathbb{N}\times \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ fonksiyonu birebir olacak şekilde kuralını nasıl belirleyebiliriz?

Comments

$\forall n\in\mathbb{N}$ için $f_n:\mathbb{R}\to(n,n+1)$ birebir fonksiyonları bulup (çok kolay) bunları kullanarak yapabilirsin.

---

Bu $f_n$ fonksiyonlarını düşünerek $f:\mathbb{N}\times \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ fonksiyonu birebir olacak şekilde bulunması mı kolay oluyor. Orayı tam anlayamadım.

---

Her ikisini de bulmak çok kolay. (hatta $f_n$ leri örten bile yapabilirsin.)

---

$f_n$ fonksiyonları $\mathbb{R}$ kümesinden $\mathbb{N}\times \mathbb{R}$ kümesine mi tanımlı?

---

$(n,n+1)\subset\mathbb{R}$

---

Biraz daha düşün. $$f(x)=\tan x$$ kuralı ile verilen fonksiyonun tanım kümesi $$\left(-\frac \pi 2,\frac \pi 2\right)$$ açık aralığıdır.

$$f(x)=\tan\dfrac {\pi } {2}x$$ kuralı ile verilen fonksiyonun tanım kümesi $$\left(-1,1\right)$$ açık aralığıdır.

$$f(x)=\tan(2x-1)\dfrac \pi 2$$ kuralı ile verilen fonksiyonun tanım kümesi $$\left(0,1\right)$$ açık aralığıdır. O halde  $$f(x)=\ldots$$ kuralı ile verilen $f$ fonksiyonunun tanım kümesi $$(n,n+1)$$ açık aralığı olur. Fonksiyonun kuralını sen bulmaya çalış.

---

Evet. Buldum. Her $n\in\mathbb{N}$ için $g_n:(n,n+1)\to\mathbb{R}, \ g_n(x)=\tan(2x-2n-1)\dfrac{\pi}2$ birebir örten olduğundan bu fonksiyonun tersi de $g_n^{-1}=f_n$ fonksiyonu $(n,n+1)$ aralığından $\mathbb{R}$'ye tanımlı olur ve bu durumda da $f_n(x)=n+\dfrac12+\dfrac{1}{\pi}\arctan x$ bulunur. Ama hala $f:\mathbb{N}\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ fonksiyonunu birebir olacak şekilde nasıl tanımlanacağını kestiremedim.

---

Doğan hocanın taktiğini biraz daha açalım.

• Reel sayılardan $(0,1)$ aralığına birebir bir fonksiyon yazabilir misin? Yazabilirsen bu fonksiyona $f_0$ de.
• Bu fonksiyonu kaydırıp $f_n$ fonksiyonunu $f_n(x) = f_0(x)+n$ olarak tanımla. Şimdi elinde reel sayılardan $(n,n+1)$ aralığına giden birebir bir fonksiyon var.
• Diyelim ben sana $n=0$ verdim, $x=0$ verdim. O zaman $(0,0)$ ikilisini $f_0(0)$'a götür. Dikkat edersen $f_0(0) \in (0,1)$. Şimdi diyelim, $n=5, x=0$ verdim. O zaman $(5,0)$ ikilisini $f_0(0)+5$'e götür. $5$ kaydır yani.
• Genel olarak $f(n,a) = f_n(a) = f_0(a) + n$ olarak tanımla. 

Resim çizerek bakarsan, yaptığın şey sadece $f_0$'ı tanımlamak. Böylelikle $\{0\} \times \mathbb{R}$'den $(0,1)$'e bir fonksiyon tanımlamış oldun. Sonra diyorsun ki eğer bana başka bir $n$ verirsen, ben yine aynı şeyi -bu sefer $(n,n+1)$ aralığında- yapacağım. Böylece bütün $\mathbb{N}\times \mathbb{R}$ üzerinde bir fonksiyon tanımlamış oldun.

---

Şimdi oldu. $f:\mathbb{N}\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \ f(n,x)=n+\dfrac12+\dfrac{1}{\pi}\arctan x$ fonksiyonu aradığım fonksiyon oluyor.

---

Bunu cevap olarak yazarsan soru cevapsız kalmamış olur!

---

$\frac12$ olmasa da olur.

Answer 1

$$f:\mathbb{R}\to\mathbb{N}\times\mathbb{R}, \ f(x)=(1,x)$$ fonksiyonu ile $$g:\mathbb{N}\times \mathbb{R}\to\mathbb{R}, \ g(n,x)=n+\frac12+\frac{1}{\pi}\arctan x$$ fonksiyonu  birebir olduğundan $\mathbb{N}\times \mathbb{R}$ kümesi ile $\mathbb{R}$ kümesi arasında birebir örten bir fonksiyon vardır. Dolayısıyla $\mathbb{N}\times \mathbb{R}$ kümesi ile $\mathbb{R}$ kümesi eşgüçlüdür.