$(X,d_1),(X,d_2)$ metrik uzaylar ve $i:X\to X, i(x)=x$ olmak üzere $$d_1\overset{D}{\sim} d_2$$ $$\Leftrightarrow$$ $$(i, (d_1\text{-}d_2) \text{ düzgün sürekli})(i^{-1}, (d_2\text{-}d_1) \text{ düzgün sürekli})$$ olduğunu gösteriniz.

Question

Aynı küme üzerinde tanımlı iki metriğin düzgün denk olması için gerek ve yeter koşul bu iki metrik uzay arasındaki birim fonksiyon ile bu birim fonksiyonun tersinin (inversinin) düzgün sürekli olmasıdır.

Answer 1

$(\Rightarrow):$ $d_1\sim d_2$  ve  $\epsilon>0$  olsun.

$\left.\begin{array}{rr} d_1\sim d_2 \\  \\ \epsilon>0 \end{array}\right\}\Rightarrow (\exists\delta_1>0)(\exists\delta_2>0)(\forall x\in X)(\forall y\in X)[(d_1(x,y)<\delta_1\Rightarrow d_2(x,y)<\epsilon)\wedge (d_2(x,y)<\delta_2\Rightarrow d_1(x,y)<\epsilon)]$

$\overset{(1)}{\Rightarrow} (\exists\delta_1>0)(\exists\delta_2>0)\Big{(}\Big{[}(\forall x\in X)(\forall y\in X)(d_1(x,y)<\delta_1\Rightarrow d_2(x,y)<\epsilon)\Big{]}\wedge \Big{[}(\forall x\in X)(\forall y\in X)(d_2(x,y)<\delta_2\Rightarrow d_1(x,y)<\epsilon)\Big{]}\Big{)}$

$\overset{(2)}{\Rightarrow} (\exists\delta_1>0)\Big{(}\Big{[}(\forall x\in X)(\forall y\in X)(d_1(x,y)<\delta_1\Rightarrow d_2(x,y)<\epsilon)\Big{]}\wedge \Big{[}(\exists\delta_2>0)(\forall x\in X)(\forall y\in X)(d_2(x,y)<\delta_2\Rightarrow d_1(x,y)<\epsilon)\Big{]}\Big{)}$

$\overset{(2)}{\Rightarrow}\Big{[}(\exists\delta_1>0)(\forall x\in X)(\forall y\in X)(d_1(x,y)<\delta_1\Rightarrow d_2(x,y)<\epsilon)\Big{]}\wedge \Big{[}(\exists\delta_2>0)(\forall x\in X)(\forall y\in X)(d_2(x,y)<\delta_2\Rightarrow d_1(x,y)<\epsilon)\Big{]}.$

Not: $(1)$ ve $(2)$ nolu geçişlerin gerekçesi: 

$(1)$ nolu geçişin gerekçesi: $\forall x(p(x)\wedge q(x))\equiv \forall xp(x)\wedge \forall xq(x)$

$(2)$ nolu geçişin gerekçesi: $\exists x(p\wedge q(x))\equiv p\wedge \exists xq(x)$

$--------------------------------------------------$

$(\Leftarrow):$ $i, \ (d_1\text{-}d_2)$  ve  $(d_2\text{-}d_1)$  düzgün sürekli ve $\epsilon>0$  olsun.

$\left.\begin{array}{rr} i, \ (d_1\text{-} d_2) \text{ düzgün sürekli} \\  \\ \epsilon>0 \end{array}\right\}\Rightarrow (\exists\delta_1>0)(\forall x\in X)(\forall y\in X)(d_1(x,y)<\delta_1\Rightarrow d_2(x,y)<\epsilon)\ldots (1)$

$\left.\begin{array}{rr} i, \ (d_2\text{-} d_1) \text{ düzgün sürekli} \\  \\ \epsilon>0 \end{array}\right\}\Rightarrow (\exists\delta_2>0)(\forall x\in X)(\forall y\in X)(d_2(x,y)<\delta_2\Rightarrow d_1(x,y)<\epsilon)\ldots (2)$

$(1),(2)\Rightarrow (\exists\delta_1>0)(\forall x\in X)(\forall y\in X)(d_1(x,y)<\delta_1\Rightarrow d_2(x,y)<\epsilon)\wedge (\exists\delta_2>0)(\forall x\in X)(\forall y\in X)(d_2(x,y)<\delta_2\Rightarrow d_1(x,y)<\epsilon)$

$\Rightarrow (\exists\delta_1>0)\big{[}(\forall x\in X)(\forall y\in X)(d_1(x,y)<\delta_1\Rightarrow d_2(x,y)<\epsilon)\wedge  (\exists\delta_2>0)(\forall x\in X)(\forall y\in X)(d_2(x,y)<\delta_2\Rightarrow d_1(x,y)<\epsilon)\big{]}$

$\Rightarrow (\exists\delta_1>0)(\exists\delta_2>0)\big{[}(\forall x\in X)(\forall y\in X)(d_1(x,y)<\delta_1\Rightarrow d_2(x,y)<\epsilon)\wedge  (\forall x\in X)(\forall y\in X)(d_2(x,y)<\delta_2\Rightarrow d_1(x,y)<\epsilon)\big{]}$

$\Rightarrow (\exists\delta_1>0)(\exists\delta_2>0)(\forall x\in X)(\forall y\in X)\big{[}(d_1(x,y)<\delta_1\Rightarrow d_2(x,y)<\epsilon)\wedge (d_2(x,y)<\delta_2\Rightarrow d_1(x,y)<\epsilon)\big{]}.$