sayılabilir olmayan her alt kümenin en az bir tane yığılma noktası var mıdır

Question

$R^n$ nin sayılabilir olmayan her alt kümesinin en az bir tane yığılma noktası vardır. Bunu ispatlayınız.

Comments

Bolzanı-Weirstrass Teoremi'nin ispatını bu soru için uygulayabilir miyim? Yani sınırlı ve sonsuz elemanlı demek sayılabilir olmayan mı demektir?

---

bence uygulanabilir "bisection" du sanırım yöntemin adı.

---

Siz bu konuda ne düşündünüz / denediniz?

---

$\mathbb{R}^n$ sınırlı bir küme değildir.

---

Ne düşündüğünüzü belirtmediğiniz için açıklama yapmak yerine epey ilgisizmiş gibi gözüken ama çözdüğünüzde bu soruya dair de ipucunu elde edeceğiniz bir soru sormayı daha uygun buluyorum. Soru şöyle:

$a_i\in \mathbb{R}_{\geq 0}$ olacak biçimde $\{a_i\}_{i\in I}$ bir topluluk alalım. Ve ek olarak $I$ kümesinin sayılamaz olduğunu varsayalım. Son olarak da böyle topluluklara uzun reel sayılar $[0,+\infty]$ kümesinden bir eleman atıyan $top$operatörü ele alalım: $$top(\{a_i\}_{i\in I})=\sup \Big\{\sum_{j\in J}a_j|J\subset I, |J|<\infty\Big\}.$$

Artık iddiayı dile getirebiliriz. $top(\{a_i\}_{i\in I})<\infty$ ise $a_i\neq 0$ eşitsizliği yalnızca sayılabilir çoklukta $i\in I$ doğrudur.

İddiayı kanıtlamak için 

birinci ipucu: Pozitif reel sayılardan oluşan bir $a_n$ dizisinin tanımladığı seri yakınsak ise, bu dizide, her $m$ pozitif tamsayısı için $$a_n\geq 1/m$$ eşitsizliğini sağlayan sonlu sayıda eleman vardır.

ikinci ipucu: Sayılabilir çoklukta sayılabilir kümenin birleşimi de sayılabilir bir kümedir.

İlgili olarak: http://matkafasi.com/15526/seri-sorusu

---

$\mathbb{R}^n$ yi sayılabilir çoklukta, sınırlı kümelerin birleşimi olarak yazabilir miyiz?