Question

Doğal sayıların yığılma noktası var mıdır?

Comments

Sen bu soruda neler düşündün/denedin  @nisanrcn?

Answer 1

Doğal sayıların yığılma noktası yoktur.

$\mathbb{N}$'in herhangi bir yığılma noktası $a$ var olduğunu düşünelim.  O halde her $\epsilon > 0$ reel sayısı için geçerli bir açık komşuluk

$U = (a - \epsilon , a + \epsilon)$ var ki $U - \{ a \} \cap \mathbb{N} \neq \emptyset$ olacaktır.

$a$ sayısından küçük en büyük doğal sayıya $x$, $a$ sayısından büyük en küçük doğal sayıya $y$ diyelim.

$x < a - \epsilon$ ve $y > a + \epsilon$ olduğunda, $U - \{ a \} \cap \mathbb{N} = \emptyset$ olur. Böyle bir $\epsilon$ bulunabilir mi? Evet, gerçekten de:

$\epsilon = min\{ (a-x),(y-a)\} > 0$
alındığında görülür ki $(a - \epsilon , a + \epsilon) - \{ a \} \cap \mathbb{N} = \emptyset$ olacaktır.

Çelişki elde edilir ve o halde böyle bir $a$ yığılma noktası bulunamaz.

Comments

@kaaneucar, yığılma noktası, o kümeye ait olmak zorunda değildir.

EK: $a\notin\mathbb{N}$ olduğunda $\left((a - \frac{1}{2} , a + \frac{1}{2}) - \{ a \} \right)\cap \mathbb{N}\neq \emptyset$ olabilir.

---

Şimdi daha iyi.

$a$ dan küçük doğal sayı olmadığı durumlar için küçük bir düzenleme gerekiyor.

(Bu şekli ile $\mathbb{Z}$ nin yığılma noktası olmadığı gösterilir. Aslında o da, basit bir  ekleme ile, $\mathbb{N}$ nin yığılma noktası olmadığını gösterir.)