Question

Bir (X,T) topolojik uzayının sayılabililr kompakt olması için gerek ve yeter koşul X kümesinin her sayılabilir sonsuz alt kümesinin en az bir yığılma noktasına sahip olmasıdır. ispatlayınız

Answer 1

Bir yönünün ispatını ben vereyim. Diğer yönünü siz düşünün.

Tanım: Bir $(X,\tau)$ topolojik uzayının her sayılabilir açık örtüsünün sonlu bir alt örtüsü varsa bu uzaya sayılabilir kompakt uzay denir. Formel olarak

$$(X,\tau) \,\,\ \text{sayılabilir kompakt}$$

$$:\Leftrightarrow$$

$$[(\mathcal{A}\subseteq \tau )(\mid \mathcal{A}\mid \leq\aleph_0)(X=\cup \mathcal{A})\Rightarrow (\exists\mathcal{A}^*\subseteq\mathcal{A})(\mid \mathcal{A}^*\mid <\aleph_0)(X=\cup\mathcal{A}^*)]$$

şeklinde ifade edebiliriz.

Teorem: $(X,\tau)$ topolojik uzay ve $A\subseteq X$ olmak üzere

$$(X,\tau) \,\,\ \text{sayılabilir kompakt}$$

$$\Leftrightarrow$$

$$\mid A\mid =\aleph_0\Rightarrow D(A)\neq\emptyset.$$

İspat: $(\Rightarrow):$ $(X,\tau)$ sayılabilir kompakt, $\mid \mathcal{A}\mid=\aleph_0$ olsun ve $D(A)=\emptyset$ olduğunu varsayalım.

 $D(A)=\emptyset\Rightarrow (\forall x\in X)(\exists U_x\in \mathcal{U}(x))((U_x\backslash\{x\})\cap A=\emptyset)$

$\left. \begin{array}{rr} \Rightarrow (\mathcal{A}:=\{U_x\mid x\in A \}\subseteq \tau)(A\subseteq\cup \mathcal{A}) \\ (X,\tau) \,\ \text{sayılabilir kompakt}\overset{?}\Rightarrow (A,\tau_A) \text{ sayılabilir kompakt} \end{array}\right\}\Rightarrow$

$\left. \begin{array}{rr} \Rightarrow (\exists\mathcal{A}^*\subseteq\mathcal{A})(\mid \mathcal{A}^*\mid <\aleph_0)(A\subseteq\cup\mathcal{A}^*) \\ i\in \{1,2,3,\ldots,k\}\Rightarrow \mid A\cap U_i\mid \leq 1\end{array}\right\}\Rightarrow \mid A\mid \leq k <\aleph_0\big{/}\text{Çelişki}$

$(\Leftarrow):$ Bu kısmını sana bırakıyorum.