Çarpım Topolojisine Dair

Question

$(X,\tau_1),(Y,\tau_2)$ topolojik uzaylar ve $\pi_1,\pi_2$ sırasıyla $1.$ ve $2.$ izdüşüm fonksiyonları olmak üzere $$\mathcal{T}:=\{\tau|(\pi_1:X\times Y\to X \,\ (\tau\mbox{ - }\tau_1) \text{ sürekli})(\pi_2:X\times Y\to Y \,\ (\tau\mbox{ - }\tau_2) \text{ sürekli})\}$$ $$\Rightarrow$$ $$\tau_1\star\tau_2=\min\mathcal{T}$$ olduğunu gösteriniz.

NOT :  Çarpım topolojisi tanımını şöyle yapıyoruz.

$(X,\tau_1),(Y,\tau_2)$ topolojik uzaylar, $\pi_1,\pi_2$ sırasıyla $1.$ ve $2.$ izdüşüm fonksiyonları ve

$\mathcal{A}:=\{\pi_1^{-1}[U]|U\in\tau_1\}\cup \{\pi_2^{-1}[V]|V\in\tau_2\}$ olmak üzere $\mathcal{A}$ ailesinin doğurduğu $X\times Y$ kümesi üzerindeki topolojiye çarpım topolojisi denir ve $\tau_1\star\tau_2$ ile gösterilir. Yani kısacası $$\tau_1\star\tau_2:=\langle \mathcal{A}\rangle$$ olur.

Comments

$$\tau_1\star\tau_2\in\mathcal{T}$$ ve $$(\forall \tau\in \mathcal{T})(\tau_1\star\tau_2\subseteq\tau)$$ önermelerinin doğru olduğu gösterilirse ispat biter.

Answer 1

İlk olarak $$\tau_1\star\tau_2\in \mathcal{T}$$ olduğunu gösterelim.

$U\in\tau_1\Rightarrow \pi_1^{-1}[U]=\{(x,y)|\pi_1(x,y)\in U\}=\{(x,y)|x\in U\}=U\times Y\in \tau_1\star\tau_2\Big{/} \pi_1, \,\ (\tau_1\star\tau_2\mbox{ - }\tau_1) \text{ sürekli}\ldots (1)$

$V\in\tau_2\Rightarrow \pi_2^{-1}[V]=\{(x,y)|\pi_2(x,y)\in V\}=\{(x,y)|y\in V\}=X\times V\in \tau_1\star\tau_2\Big{/} \pi_2, \,\ (\tau_1\star\tau_2\mbox{ - }\tau_2) \text{ sürekli}\ldots (2)$

$$(1),(2)\Rightarrow \tau_1\star\tau_2\in \mathcal{T}\ldots (3)$$

Şimdi de $$\tau\in \mathcal{T}\Rightarrow \tau_1\star\tau_2\subseteq\tau$$ olduğunu gösterirsek ispat biter.

$$\tau\in\mathcal{T}$$

$$\Rightarrow$$

$$(\pi_1:X\times Y\to X, \,\ (\tau\mbox{-}\tau_1) \text{ sürekli} )(\pi_2:X\times Y\to Y,\,\ (\tau\mbox{-}\tau_2) \text{ sürekli} )$$

$$\Rightarrow$$

$$(A_1\in \tau_1\Rightarrow \pi_1^{-1}[A_1]=A_1\times Y\in\tau)(A_2\in \tau_2\Rightarrow \pi_2^{-1}[A_2]=X\times A_2\in\tau)$$

$$\Rightarrow$$

$$[(A_1\in \tau_1)(A_2\in \tau_2)\Rightarrow \pi_1^{-1}[A_1]\cap \pi_2^{-1}[A_2]=(A_1\times Y)\cap (X\times A_2)=(A_1\cap X)\times (Y\cap A_2)=A_1\times A_2\in \tau]\ldots (4)$$

Öte yandan

$$A\in\tau_1\star\tau_2\Rightarrow (\exists\mathcal{A}_1\subseteq \tau_1)(\exists\mathcal{A}_2\subseteq \tau_2)(A=\cup_{(A_1\in\mathcal{A}_1)(A_2\in\mathcal{A}_2)}(A_1\times A_2))\ldots (5)$$

Buradan   $$(4),(5)\Rightarrow A\in\tau\Big{/}\tau_1\star\tau_2\subseteq\tau\ldots (6)$$ elde edilir. O halde

$$(3),(6)\Rightarrow \tau_1\star\tau_2=\min\mathcal{T}.$$