Ayrılabilir uzay olma özelliğinin topolojik özellik olduğunu gösteriniz?

Question

Ayrılabilir uzayların topolojik özellik olduğunu gösteriniz? Burda ayrılabilir uzayların homeomorfizm olduğunu yani bire bir örten F sürekli F'in tersi sürekli olduğunu göstermeliyiz galiba

Comments

Lütfen siz neler düşündüğünüzü ekler misiniz?

---

Topolojik özellikler homeomorf olması gerekmiyor mu yani ayrılabilir uzayın homeomorf olduğunu göstermeli miyiz

---

Ayrılabilir uzay olma özelliğinin homeomofizma altında korunduğunu göstermen gerekiyor. Ayrıca sorunu iyi ifade etmemişsin. Rica etsem düzeltir misin?

---

Hocam lisans öğrencisiyim hoca bana bunu sordu ve böyle söyledi yarın sabah vermeliyim acaba nasıl yapılacağını gösterir misiniz

---

Site kuralları gereği neler düşündüğünü sorunun altına eklemelisin. Aksi takdirde sorun editörler tarafından kapatılır.

---

Hocam görüşlerim homeomorfizm olma şartlarını yazdım ama nasıl gösterebileceğimi bilmiyorum ayrılabilir uzayın homeomorf olduğunu nasıl sürekliliğinin tersinin sürekliliğini nasıl yapabilirim acaba

---

Lütfen yardımcı olabilir misiniz

---

Hassasiyetin için teşekkür ederim. Adım adım gidelim. Ayrılabilir uzay tanımını hatırlıyor musun?

---

x metrik uzayının her yerinde yogun sayılabilir bir alt kumesi varsa x ayrılabilir bir uzaydir T

---

Şimdi soruyu senin için biraz daha anlaşılır hale getireyim. Şöyle:

$(X,\tau),(Y,\sigma)$ topolojik uzaylar ve $f:X\to Y$ fonksiyon olmak üzere

$$((X,\tau) \text{ ayrılabilir})(f:X\to Y \text{ homeomorfizm})\Rightarrow (Y,\sigma) \text{ ayrılabilir}$$ teoremini ispatlayacağız. Ayrılabilir uzay ve homeomorfizma tanımlarını da biliyorsun. Şimdi ispatın neresinde takıldığını bize söyler misin? Ne yapman gerektiğini ve nasıl başlaman gerektiğini biliyor musun?

---

Hocam nasıl başlayacağımı bilmiyorum

---

Hocam bi gösterir misiniz çok az bi zamanım kaldı

---

$(X,\tau) \text{ ayrılabilir}\Rightarrow (\exists A\subseteq X)(|A|\leq\aleph_0)(\overline{A}=X)$

$f$ fonksiyonunun homeomorfizma olduğu bilgisini kullanarak buradan devam et bakalım.

---

F in birebir ve örten olduğunu mu göstereyim nasıl göstereceğiz

---

$f$ homeomorfizma ise zaten birebir ve örtendir. Elindeki bilgilerden hareketle $Y$ uzayında sayılabilir yoğun bir altkümenin var olduğu sonucuna ulaşman gerekiyor. Ben ispata bir başlangıç yaptım. İyice düşün. Hemen pes etme. Tanımları ve önceden bildiğin bilgileri kullanarak akıl yürütme yapmak suretiyle $Y$ uzayının sayılabilir yoğun bir altkümesinin var olduğu sonucuna ulaşmaya çalış.

---

Kabulümüzde f x den y ye homeomorfizm olduğunu söylemiştik o halde yine böyle düşünürsek Y de homeomorf olmaz mı hocam

---

Kavramları karıştırma. $f$ homeomorfizma ise $X$ uzayı $Y$ uzayına homeomorftur. Ne yapman gerektiğini bir önceki mesajımda yazdım. Soruya iyice konsantre ol bakalım.

---

$Y$ uzayının sayılabilir yoğun bir altkümesinin var olduğu sonucuna nasıl ulaşacağız hocam örnek versek olmaz yardımcı olur musunuz

---

Hocam bi yardımcı olur musunuz bitirsek Şu teoremi

---

Ben ziyadesiyle yardımcı olduğumu düşünüyorum. Sen biraz gayret etmeyi denesen.

Answer 1

$\left.\begin{array}{rr} (X,\tau) \text{ ayrılabilir}\Rightarrow (\exists A\subseteq X)(|A|\leq \aleph_0)\left(\overline{A}=X\right) \\ f:X\to Y \text{ homeomorfizm}\end{array}\right\}\Rightarrow$

$\Rightarrow \underset{\text{Neden?}} {(\underbrace{f[A]\subseteq f[X]=Y})}\underset{\text{Neden?}}{(\underbrace{|f[A]|\leq\aleph_0})}\underset{\text{Neden?}}{\left(\underbrace{Y=f[X]=f\left [\overline{A}\right ]\subseteq \overline{f[A]}\subseteq Y}\right)}$

$\Rightarrow (f[A]\subseteq Y)(|f[A]|\leq\aleph_0)\left(\overline{f[A]}=Y\right)$

$\Rightarrow (Y,\sigma) \text{ ayrılabilir}.$

Comments

f((Y,τ)) da bu durumda ayrılabilir olur mu peki

 

---

$(f(X),\sigma)$ demek istediniz herhalde. Çünkü yazdığınız bu haliyle anlamsız.

---

Sigma ise ben meseleyi anlamamisim sanirim to yu bilerek yazmistim