$(X,\tau_1),(Y,\tau_2)$ topolojik uzaylar ve $f:X\to Y$ fonksiyon olmak üzere $$``((X,\tau_1), \text{ ayrılabilir})(f, \text{ sürekli})\Rightarrow (Y,\tau_2), \text{ ayrılabilir}"$$ önermesi doğru mudur? Yanıtınızı kanıtlayınız.

Question

Yani ayrılabilir uzay olma özelliği süreklilik altında korunur mu?

Not: $(X,\tau)$ topolojilk uzay olsun.

$$(X,\tau), \text{ ayrılabilir}:\Leftrightarrow (\exists A\subseteq X)(|A|\leq\aleph_0\wedge \overline{A}=X)$$

Answer 1

$X:=\{a,b\}$ kümesi üzerinde $\tau_1:=2^{X}$ ve $\mathbb{R}$ kümesi üzerinde de $\tau_2:=2^{\mathbb{R}}$ topolojisini ele alalım.

$(X,\tau)$ topolojik uzayı ayrılabilir uzay ve $$f(x):=\left\{         \begin{array}{ccc}         \mathbb{I} & , & x=a \\         \mathbb{Q} & , & x=b\\         \end{array}         \right.$$ kuralı ile verilen $$f:(X, \tau) \rightarrow (\mathbb{R}, 2^{\mathbb{R}})$$ fonksiyonu sürekli olmasına karşın $$(\mathbb{R}, 2^{\mathbb{R}})$$ topolojik uzayı ayrılabilir uzay değildir. Yani ayrılabilir uzay olma özelliği süreklilik altında korunan bir özellik değildir.