Question

$(X_{\infty},\tau_{\infty})$ topolojik uzayının kompakt olduğunu gösteriniz.

Answer 1

Herhangi bir acik ortusunu alalim. Bu acik ortudeki acik kumelerden en az bir tanesi $\infty$ noktasini icermeli. Bu acik kumenin icermedigi kisim zaten tikiz oldugundan geri kalan acik kumelerden sonlu tanesi bu kumeyi orter. Dolayisiyla sonlu bir ortu bulmus oluruz.

Answer 2

$\mathcal{A}, X_{\infty}$'un  $\tau_{\infty}$-açık örtüsü yani $\mathcal{A}\subseteq \tau_{\infty}$ ve $X_{\infty}=\cup\mathcal{A}$ olsun.

$(\mathcal{A}\subseteq \tau_{\infty})(X_{\infty}=\cup\mathcal{A})\Rightarrow (\exists A\in\mathcal{A})(\infty\in A)$

$\left.\begin{array}{rr} \Rightarrow (\exists B\subseteq X)(B, \tau\text{-kapalı})(B, \tau\text{-kompakt})(A=X_{\infty}\setminus B) \\ \\ \mathcal{B}^*:=\{X\cap A|A\in\mathcal{A}\}\Rightarrow B\subseteq \cup \mathcal{B}^*\end{array}\right\}\Rightarrow$

$\left.\begin{array}{rr} \Rightarrow  (\exists \mathcal{B}\subseteq \mathcal{B}^*)(|\mathcal{B}|<\aleph_0)(B\subseteq\cup\mathcal{B}) \\ \\ \mathcal{A}^*:=\{\setminus B\}\cup\{A|X\cap A\in\mathcal{B}^*\}\end{array}\right\}\Rightarrow (\mathcal{A}^*\subseteq\mathcal{A})(|\mathcal{A}^*|<\aleph_0)(X_{\infty}=\cup\mathcal{A}^*).$