Altbaz ve Topoloji

Question

$(X,\tau_1),(X,\tau_2)$ topolojik uzaylar ve $\mathcal{A}\subseteq\mathcal{P}(X)$ olmak üzere

$$(\mathcal{A}, \ \tau_1 \text{ için altbaz})(\mathcal{A}, \ \tau_2 \text{ için altbaz})\Rightarrow \tau_1=\tau_2$$ olduğunu gösteriniz.

Comments

Baz ve Topoloji

Answer 1

$\mathcal{B}:=\{\cap\mathcal{A}^*|(\mathcal{A}^*\subseteq\mathcal{A})(|\mathcal{A}^*|<\aleph_0)\}$ olsun.

$\left. \begin{array}{r} A\in\tau_1  \\  \\ \mathcal{A}, \tau_1 \text{ için altbaz}\Rightarrow\mathcal{B}, \tau_1 \text{ için baz} \end{array} \right\}\Rightarrow$
 
$\begin{array}{c} \left. \begin{array}{r} \Rightarrow (\exists \mathcal{G}\subseteq \mathcal{B}\subseteq\tau_1)(A=\cup\mathcal{G}) \\ \mathcal{A}, \tau_2 \text{ için altbaz}\Rightarrow\mathcal{B},  \tau_2 \text{ için baz} \Rightarrow \mathcal{B}\subseteq\tau_2\\ \tau_2, X\text{'de topoloji} \end{array} \right\} \Rightarrow A\in\tau_2\end{array}$

yani $$\tau_1\subseteq\tau_2$$ olur. Benzer şekilde $$\tau_2\subseteq\tau_1$$ bulunur. O halde $$\tau_1=\tau_2.$$