Question

Bölme işlemi, tamsayılar içinde bir ikili işlem degildir. Neden?

Comments

İkili işlem sonucunda çıkan eleman o kümede kalmalı, tanımdan dolayı. O yüzden. 

---

İkili işlem tanımını nasıl yaptığına bağlı olarak cevap değişir.

---

Bildiğiniz farklı tanımlar neler @murad.ozkoc?

---

Burada mevcut.

---

Kullandığınız tanımda $A = \mathbb{Z}$ alacağız. Bu durumda ne sıkıntı çıkıyor ki? Soru da zaten $\mathbb{Z}$ içeriyor.

---

İyi tanımlı değil de ondan.

---

Buradaki cevapta da ifade ettiğim gibi benim benimsediğim (tercih ettiğim) ikili işlem tanımı şöyledir:

Tanım: $A$ herhangi bir küme ve $\beta\subseteq A^2$ olmak üzere

$$\Delta , A\text{'da ikili işlem}:\Leftrightarrow \Delta:\beta\to A \text{ fonksiyon}$$

$$\Delta , A\text{'da kapalı ikili işlem}:\Leftrightarrow \Delta:A^2\to A \text{ fonksiyon}$$

İkili işlem tanımını yukarıdaki gibi ele aldığımızda $$\beta=\left\{(k\cdot x,x) | k\in\mathbb{Z}, x\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}\right\}$$  olmak üzere

$$\div:\beta\to \mathbb{Z}, \,\,\ \div(x,y):=x\div y$$ bağıntısı bir fonksiyon yani $\mathbb{Z}$'de bir ikili işlem olur. Bazı kaynaklar ise benim kapalı ikili işlem dediğim kavramı, ikili işlem tanımı olarak veriyor. $A$'da ikili işlem tanımını "$A^2$'den $A$'ya her fonksiyona $A$'da ikili işlem denir" şeklinde alırsak o zaman @mat öğrencisi adlı arkadaşın sorusunun cevabı, söz konusu bağıntı $\mathbb{Z}$'de ikili işlem değildir olacaktır. Son olarak daha önceki kavramlarla çelişmediği sürece tanımlara karışılmaz.