Öyle bir $j=2,3,\dots,n-1$ vardır ki $a_j=k$ olur.

Question

$n\geq 3$ için, $a_1,a_2,\dots,a_n$ tamsayılarını düşünelim, öyle ki $i=1,2,\dots,n-1$ için şu özellik sağlansın: $$|a_{i+1}-a_i|\leq 1$$ Gösteriniz ki $a_1$ ile $a_n$ arasındaki (bu iki sayıyı dahil etmiyorum) her $k$ tamsayısı için öyle bir $j=2,3,\dots,n-1$ var ki $$a_j=k$$ eşitliği sağlanır.

Answer 1

$|a_{i+1}-a_i | \leq 1$ ise şu sonuç çıkar; ya $a_{i+1} = a_i$ ya da bu iki sayı ardışık. Bu durumda belli bir yere kadar azalan ya da artan sayı dizileri bulabiliriz. En kötü ihtimali düşünürsek bu "belli bir yer" 1 olur yani $a_1$'den $a_n$'e kadar olan sayılar $a_1$'den itibaren $1$ artar $1$ azalır $1$ artar $\dots$ $a_n$'e kadar. Bu durumda dizide sadece $2$ farklı sayı bulunur, $a_i$ veya $a_{i+1}$, bitti.

Diyelim ki dizimizin artıp azalan altdizileri var. Sabit kaldığı yerleri gözardı edersek, dizi $a_i$'de davranış değiştirdiğinde (artmadan azalmaya geçerken veya tam tersi) bir önceki terimin değerine geliyor yani $a_{i-1}$ ve $a_{i+1}$ aynı değere sahip.  

Yani dizi uçup kaçmıyor. O zaman ara değer teoremini modifiye edip kullanabiliriz. Bu da kanıtı tamamlar. 

Answer 2

Bir de Analiz ile çözümü (herhalde Kirmizi nın bahsettiği çözüm budur):

$f(x)=a_{\lfloor x\rfloor}(a_{\lfloor x\rfloor}+1-x)+a_{\lfloor x\rfloor+1}(x-\lfloor x\rfloor)$ olsun.

 $f$, tamsayılar arasında lineer interpolasyon yapıyor. Bu fonksiyon:

1. $[a_1,a_n]$ aralığında süreklidir.
2. Her $1\leq j\leq n$ için $f(j)=a_j$ dir.
3. $[j,j+1]$ aralığında sabittir $\Leftrightarrow$ $a_j=a_{j+1}$ dir.
4. $[j,j+1]$ aralığında  $a_j$ ile $a_{j+1}$ arasında değerler alır.

4 ün sonucu ve kabulümüzden,  

Bir $j<x<j+1$ için $f(x)$ tamsayı ise $a_j=a_{j+1}$ olur.(*)

Ara Değer Teoreminden, $f(c)=k$ olacak şekilde (en az) bir $c\in[1,n]$ vardır.

Bu sayılardan herhangi birini alalım.

$c\in\mathbb{Z}$ ise zaten istenen gösterilmiştir.

$c\notin\mathbb{Z}$ ise, (*) satırından,  $a_{\lfloor c\rfloor+1}=a_{\lfloor c\rfloor}=k$ olur.

Answer 3

Diyelim ki ifadenin tersi doğru olsun: öyle bir $k_0\in\mathbb{Z}$ var ki, tam olarak $a_1$ ile $a_n$ arasında, tüm $j=2,3,\dots,n-1$ için $a_j\neq k_0$. Bu durumda $S=\{a_i:a_i<k_0\}$ ve $T=\{a_i:a_i>k_0\}$ için, $$\{a_1,\dots,a_n\}=S\sqcup T$$ eşitliğini sağlanır. Genelliği kaybetmeksizin $a_1<k_0<a_n$ varsayımını yapabiliriz. Bu durumda $a_1\in S$ ve $a_n\in T$ olur.

İddia: Eğer $a_i\in S$ ise $a_{i+1}\in S$ olur.

İspat: Bir $a_i\in S$ için ($S$ kümesi boştan farklı, çünkü $a_1\in S$) $a_{i+1}$ elemanı $S$ kümesinde olmasın, bu durumda bu eleman $T$ kümesinde olmalı. Yani $a_{i+1}>k_0$. Bu durumda elimizde $$a_i+1\leq k_0\ \&\ k_0+1\leq a_{i+1}$$ bilgileri var, dikkat bunlar tamsayı. Ama bu iki ifade $a_{i+1}-a_i\geq 2$ sonucunu verir ki bu da varsımla çelişir.

$a_1\in S$ ve iddia der ki $a_2\in S$, devam edersek $a_n\in S$. Ama bu ifade $a_n<k_0$ demektir ki, öyle değildi.