|ai+1−ai|≤1 ise şu sonuç çıkar; ya ai+1=ai ya da bu iki sayı ardışık. Bu durumda belli bir yere kadar azalan ya da artan sayı dizileri bulabiliriz. En kötü ihtimali düşünürsek bu "belli bir yer" 1 olur yani a1'den an'e kadar olan sayılar a1'den itibaren 1 artar 1 azalır 1 artar … an'e kadar. Bu durumda dizide sadece 2 farklı sayı bulunur, ai veya ai+1, bitti.
Diyelim ki dizimizin artıp azalan altdizileri var. Sabit kaldığı yerleri gözardı edersek, dizi ai'de davranış değiştirdiğinde (artmadan azalmaya geçerken veya tam tersi) bir önceki terimin değerine geliyor yani ai−1 ve ai+1 aynı değere sahip.
Yani dizi uçup kaçmıyor. O zaman ara değer teoremini modifiye edip kullanabiliriz. Bu da kanıtı tamamlar.
Bir de Analiz ile çözümü (herhalde Kirmizi nın bahsettiği çözüm budur):
f(x)=a⌊x⌋(a⌊x⌋+1−x)+a⌊x⌋+1(x−⌊x⌋) olsun.
f, tamsayılar arasında lineer interpolasyon yapıyor. Bu fonksiyon:
Ara Değer Teoreminden, f(c)=k olacak şekilde (en az) bir c∈[1,n] vardır.
Bu sayılardan herhangi birini alalım.
c∈Z ise zaten istenen gösterilmiştir.
c∉Z ise, (*) satırından, a⌊c⌋+1=a⌊c⌋=k olur.
Diyelim ki ifadenin tersi doğru olsun: öyle bir k0∈Z var ki, tam olarak a1 ile an arasında, tüm j=2,3,…,n−1 için aj≠k0. Bu durumda S={ai:ai<k0} ve T={ai:ai>k0} için, {a1,…,an}=S⊔T eşitliğini sağlanır. Genelliği kaybetmeksizin a1<k0<an varsayımını yapabiliriz. Bu durumda a1∈S ve an∈T olur.
İddia: Eğer ai∈S ise ai+1∈S olur.
İspat: Bir ai∈S için (S kümesi boştan farklı, çünkü a1∈S) ai+1 elemanı S kümesinde olmasın, bu durumda bu eleman T kümesinde olmalı. Yani ai+1>k0. Bu durumda elimizde ai+1≤k0 & k0+1≤ai+1bilgileri var, dikkat bunlar tamsayı. Ama bu iki ifade ai+1−ai≥2 sonucunu verir ki bu da varsımla çelişir.
a1∈S ve iddia der ki a2∈S, devam edersek an∈S. Ama bu ifade an<k0 demektir ki, öyle değildi.