$a<b<c$ ve $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}+ \frac{1}{c} = \frac{1}{7}$ old.göre $a$ nın en büyük tam sayı değeri kaçtır ?

Question

Soruyu hepsini eşit düşünerek (a=b=c) çözdüm fakat. Çok tatmin edici bir çözüm olarak görmedim mantığı yada farklı bir çözüm yolu olabilir diye sormak istedim..

Comments

Bu sayıların işaretleri hakkında bir şey biliyor muyuz?

---

işaret hakkına bilgi verilmemiş Mehmet hocam. Hepsi pozitif olarak düşünebiliriz ama

---

-1 diye düşünüyorum , doğru ise anlatayım

---

Cevap -1 değil Oguzhan Patat ,

a,b,c hakkında bilgi verilmemiş ama şıklar hep pozitif , a,b,c yi pozitif olarak düşünebiliriz..

---

20 olabilir mi

---

çözüm yöntemini merak ediyorum 

---

bu saatte işlemleri sağlıklı yapamayabilirim ama Aritmetik ve Harmonik ortalamayı karşılaştırabilirsiniz.

Answer 1

$\dfrac 1 a , \dfrac1 b ,\dfrac 1 c $  sayıları için

$Harmonik ~~Ortalama \leq Aritmetik~~Ortalama $

    $\dfrac{3}{a+b+c} \leq  \dfrac{\dfrac1 a+\dfrac 1 b+\dfrac 1 c}{3}=\dfrac {\dfrac 1 7}{3}$

 $\dfrac{3}{a+b+c} \leq \dfrac 1 {21}  $

$63 \leq a+b+c$                                                                                         

 $63-3a \leq b-a+c-a$  

$0<63-3a<b-a+c-a$                                            $a<b<c$

  $a<21$                                                                               $a-a<b-a<c-a$

                                                                                   $0<b-a<c-a$

Comments

bu şekilde düşündüm.

---

teşekkürler dostum

Answer 2

Eğer $a,b,c$ birer pozitif sayılar ise, $a<b<c\Rightarrow \frac 1a>\frac 1b>\frac 1c$ olacaktır. Diğer taraftan$\frac 1a+\frac 1b+\frac 1c=\frac 17$ dır. Bir an için $ \frac 1a=\frac 1b=\frac 1c$ olduğunu var sayarsak $\frac{3}{a}=\frac{3}{b}=\frac 17\Rightarrow a=b=21$ olur. Oysa $a<b$ idi $a<21$ olmalıdır.

Comments

teşekkürler sayın hocam :)

---

Önemli değil. Kolay gelsin. İyi çalışmalar dilerim.