Question

$\left( fog\right) \left( x\right) =\dfrac {x+2} {x-1}$ ve$g\left( x\right) =\dfrac {1} {x+1}$ olduğuna göre $f(x)=?$

Comments

$g(x)$ fonksiyonunun tersini alıp $(fog)(x)$ fonksiyonuna sağdan etki ettir. Elinde $f(x)$ kalacak.

---

nasıl yaparmısın lütfen

---

$g^-1(x)=\frac{-x+1}{x}$

$(fogog^-1)(x)=(\frac{x+2}{x-1})o(\frac{-x+1}{x})$ 

İlk denklemde $x$ gördüğün yere ikinci ifadeyi yazarsan $g$ fonksiyonları birbirlerini birim fonksiyona (etkisiz) dönüştürür ve elinde $f(x)$ fonksiyonu kalır

$f(x)=\frac{x+1}{-2x+1}$ geliyor işlem hatası yapmadıysam.

---

çok teşekürler

---

iyi çalışmalar

---

Soru iyi hazırlanmamış. Çünkü $f$ ve $g$ iki fonksiyon olmak üzere $$f\circ g$$

bileşke fonksiyonunun tanımlanabilmesi için $$g$$ fonksiyonunun hedef kümesi, $$f$$ fonksiyonunun tanım kümesine eşit olmalı yani     $$\mathcal{T}_g=\mathcal{D}_f$$ olmalı. En kötü ihtimalle $g$ fonksiyonunun görüntü kümesi $(\text{yani }g[\mathcal{D}_g]=\mathcal{R}_g)$, $f$ fonksiyonunun tanım kümesinin $(\mathcal{D}_f)$ bir altkümesi olması gerekir. Şimdi $g$ fonksiyonunu ele alalım. $g$ fonksiyonunun sadece kuralı verilmiş. Bu durumda $g$ fonksiyonunun tanım kümesini $\mathbb{R}\setminus\{-1\}$ ve hedef kümesini de $\mathbb{R}$ olarak ele alırız. @baykus ve @matbaz'ın da bulduğu gibi eğer $f$ fonksiyonunun kuralı $$f(x)=\frac{x+1}{-2x+1}$$ ise bu durumda $f$ fonksiyonunu $\mathbb{R}\setminus\{\frac12\}$ kümesinden $\mathbb{R}$ kümesi tanımlı diye düşünürüz. Bu durumda da ne  $$(\mathbb{R}=)\mathcal{T}_g= \mathcal{D}_f\left(=\mathbb{R}\setminus\left\{\frac12\right\}\right)$$ koşulu ne de $$(\mathbb{R}\setminus\{0\}=)g[\mathcal{D}_g]=\mathcal{R}_g\subset  \mathcal{D}_f\left(=\mathbb{R}\setminus\left\{\frac12\right\}\right)$$  koşulu sağlanır. Yani $$f\circ g$$ bileşke fonksiyonunun tanımlanabilmesi için gerekli şartlar sağlanmaz.

Ayrıca $g(x)=\frac{1}{x+1}$ kuralı ile verilen $g$ fonksiyonunun tanım ve hedef kümeleri özel olarak belirtilmediği için $g$ fonksiyonu $\mathbb{R}\setminus\{-1\}$ kümesinden $\mathbb{R}$ kümesine tanımlı olarak düşünürüz. Bu durumda da $g$ fonksiyonu örten olmaz. Dolayısıyla $g$ fonksiyonunun TERSİ yoktur.

---

Murad hocam, $g(x)$ fonksyionu $x=-1$ için tanımsız olduğundan soru yanlış mı olur yani?

---

Öncelikle şunu ifade edeyim. $g(x)$ fonksiyonu söylemi yanlıştır. Olması gereken $g$ fonksiyonu söylemidir. $g(x)$, $g$ fonksiyonunun kuralıdır. Bunlar karıştırılmamalıdır. Öte yandan $g$ fonksiyonu $x=-1$ noktasında tanımsız olduğundan değil yukarıda yazmış olduğum gerekçelerden dolayı soru iyi kurgulanmamış yani iyi hazırlanmamış.

Answer 1

merhabalar,

öncelikli olarak neler denediğinizi yazmalısınız

soruya gelirsek bileşkeden bir fonksiyonu bulacaksak istenmeyen fonksiyonun olduğu taraftan tersi ile bileşke yaparız. Yani 

$g^{-1}(x)=\frac{-x+1}{x}$ ve

$fogog^{-1} (x)=f(x)$ olacağından$\frac{-x+1}{x}$  ifadesini fog(x) de x yerine yazalım

$f(x)=\frac{x+1}{-2x+1}$ (işlem hatası yoksa :)

kolay gelsin

Comments

çok teşekürler