Supremum ve infimum eger varsa bir tanedir. Bunu ispatlayiniz.

Question

Supremum ve infimum eger varsa 1 tanedir. Bunu ispatlayin

Comments

iki tane oldugunu kabul edip tanimi kullanarak celiski bulmaniz yeterli.

Answer 1

$A$ bir küme olsun ve bu kümenin birden fazla supremum(birbirinden farklı) elemanı olsun. En az iki tane olmalı yani. Bunlara $M$ ve $M'$ diyelim. $M$ bir üst sınır ve tanım gereğince bir supremum olan $M'$ için $M' \leq\ M$ ve benzer şekilde $M \leq\ M'$ eşitsizliği de sağlanır. Dolayısıyla $M=M'$ olur; ancak bu varsayımımızla çelişir dolayısıyla supremum varsa biriciktir.

                                                                                                                               $\blacksquare$

İnfimum için de benzer şekilde yapabilirsiniz.