Bir fonksiyon eğrisinin parçaları ile başka fonksiyonların benzeşmesi/çakışması..

Question

Sonlu polinomik veya Trigonometrik bir $f$ fonksiyonu hayal ediniz ,bu fonksiyon bir eğri olsun, bu eğrinin belli ve boş olmayan $I=[a,b]$ aralığındaki değerlerinin tümü , daha büyük $I$'yı kapsayan aralıklarında eş olmayan bir $g$ fonksiyonu ile aynı olsun.Yani büyük bölgelerde alakası olmayan 2 fonksiyon var ama bunlar belli bir $I$ aralığında çakışıyor veya çakıştırılmaya çalışılıyor (interpolarizasyon gibi noktaların en iyi lineer formu veya polinomal ortak formu çakışsın).

Sorum, bir trigonometrik fonksiyon olan $sinx$ için $sinx$'in sonsuz seri açılımı harici bir polinom bulacagız ve herhangi boş olmayan $I$ aralığında bu polinom ile $sinx$'in çakışımını gösterecegiz veya çakışmasa bile ,çok yakınlarında gezinirken en iyi yaklaşımın $sinx$ oldugunu gösterecegiz(veya başka trigonometrik fonksiyonlar veya bir polinom için başka polinomların belli aralıklardaki yaklaşımları)

Bu yöntemler kullanılıyor ama hep deney ve gozlem ,aralıklardaki numerık analızlerıne gore...

Daha formal ve fonksiyonel bir yontem arıyorum ki, fonksiyonları bır denkleme tabi tutalım ve sonucuna göre çakıştıgı veya benzeştiği aralıklarını belırleyelım.Nasıl yaparız? Hangi güzel ve komplike/elemanter yöntemler mevcut?

Hatta Asıl Sorum, $sin[u_x]=\displaystyle\sum^n_{k=0} a_k x^k \quad n$ Sonsuz seriler haricinde bir yyöntem ile belli aralıklarda başka fonksiyonlarla birebir çakıştıgını nasıl gösteririz?(parçalı fonksiyon trickleri kabul degildir :)(parçalı olarak sinüsü koymak gibi trickler veya sinüs fonksiyonlarının türevleri/değişik katsayılı ve içlileri) )


Denediğim çok iyi olmayan örnekler:

$sinx$ için  $1-\left(x-1.5\right)^2-\left(x-1.5\right)^5-\left(x-1.5\right)^{14}$   polinomu ve $[1.329,1,529]$ aralığı



$tanx$  için  $x^5+x^4-x^3+x^2-x-1$   ,aralık $[1,1.274]$

Comments

$p$ tek degiskenli bir polinom olmak uzere $\lim_{x \to \infty} p(x) = \pm \infty$ olur. Dolayisiyla her polinom, bir noktadan sonra $\sin(x)$'ten uzaklasmaya baslar.

Hatta asil sorum dedigin yerde de: Sonlu polinomal seri dedigin seyin polinomdan farki ne? Bu yazdigin haliyle, orada sadece bir polinom var?

---

Polinom olmasın fonksıyon olsun, hani fonksiyon dıyınce dırek sonsuz seriler geliyor insanın aklına, gereklı duzenlemeyı yapayım.