$f_n(x)= \frac{n}{2} \int_{x- \frac{1}{n}}^{x+\frac{1}{n}}f(t)dt$ ile tanımlanan fonksiyon dizisi

Question

$f$, $[-1,2]$ aralığında sürekli olsun. $0\leq x \leq 1$, $n\geq 1$ için

 $f_n(x)= \frac{n}{2} \int_{x- \frac{1}{n}}^{x+\frac{1}{n}}f(t)dt$ ile tanımlanan fonksiyon dizisinin $[0,1]$ aralığında sürekli olduğunu ve $f$ fonksiyonuna düzgün yakınsadığını gösteriniz.

Comments

Denemeleriniz nelerdir?

---

Editörlere torpil geçilebiliyor mu?:)

---

Tamamdır hocalarım haklısınız akşam yaptıklarımı tek tek yazayım..:)

---

düzgün yakınsama için bişiler var elimde..$f(x)$ e düzgün yakınsadığını göstermek istiyorsam noktasal yakınsamadan,

$lim_{x \rightarrow x_0}f(x)=f(x_0) \Leftrightarrow lim_{h \rightarrow 0}f(x_0+h)=f(x_0) \Leftrightarrow  lim_{h \rightarrow 0}f(x+h)=f(x) \Leftrightarrow  lim_{h \rightarrow 0}|f(x+h)-f(x)|=0$ 

$|f_n(x)-f(x)|=|\frac{n}{2}  \int_{x - \frac{1}{n} }^{x+ \frac{1}{n}}f(t)dt-\frac{n}{2}  \int_{x - \frac{1}{n} }^{x+ \frac{1}{n}}f(x)dt| \leq \frac{n}{2} \int_{x - \frac{1}{n} }^{x+ \frac{1}{n}}|f(t)-f(x)|dt$

burdan integral $|t-x| < \frac{1}{n}$  aralık $\frac{2}{n}$ kadar

$|f_n(x)-f(x)| \leq \frac{n}{2} \frac{2}{n}\epsilon= \epsilon$

elde ederim.