Question

iki permütasyonmatrisin çarpımı bir permütasyon matrisdir. ve bu nedenle ortogonal dır.ç gösteriniz.

Comments

Göstereceğimiz ç nedir?

Answer 1

Permütasyon matrisi $\pi\in S_{n}$ olmak üzere $X(\pi)=(x_{i,j})$ , eğer $\pi(j)=i$ ise $x_{i,j}=1$ ve $\pi(j)\neq i$ ise $x_{i,j}=0$ ile tanımlanır. (Yani permütasyon matrisi her satır ve sütunda bir tane $1$ in bulunduğu ve diğer yerlerde $0$ ın olduğu matristir).

$\sigma\in S_{n}$ için $X(\sigma)=(a_{i,j})_{n\times n}$ ve $\sigma(j)=i$ ise $a_{i,j}=1$. Dolayısıyla $\sigma^{-1}(\sigma(j))=\sigma^{-1}(i)$ ve $\sigma^{-1}(i)=j$ ise $a_{j,i}=1$. Diğer bütün yerlerde $0$. Yani $\sigma^{-1}\in S_{n}$ ye karşılık gelen matris $X(\sigma^{-1})=X(\sigma)^{T}$ olur. Diğer taraftan $X(\sigma \sigma^{-1})=X((1))=I_{n}$ ve $X(\sigma)X(\sigma^{-1})=I_{n}$ olup permütasyon matrisi ortogonaldir.

Not: İki permütasyon matrisinin çarpımınında yine bir permütasyon matrisi olduğu görülebilir.

Comments

Çok teşekkürler

Answer 2

Permutasyonun tanimindan iki kere uygulayinca yine permutasyon olur. Ortogonallik icin de bu nedene gerek var mi bilmiyorum? Permutasyon birim matrisin satirlarini degistimek oldugundan satirlarda sadece bir adet 1 olacagindan ve bunlar da farkli sutunda olacaklarindan ortogonal hatta ortonormal olur.