Halkanın bir modülle tensör çarpımı daima aynı halkayı verir mi? Ve bu durum toplamsal abelyen grup için geçerli midir?

Question

Yani; $M\sim R-modul, R\sim halka \Rightarrow R\otimes_R M \cong M$ midir?

$f: R\otimes_R M \rightarrow M$

       $r\otimes m \mapsto r.m$ (M R-modül olduğundan bu şekilde tanımlanabilir)

$g: M \rightarrow R\otimes_R M$

      $m\mapsto 1\otimes m$

olacak şekilde $fg=1_M$ ve $gf=1(R\otimes_R M)$ (ikinci birimde tensör çarpımı 1'in altına yazamadım gf tensör çarpımın birimi demek istedim) olduğu gösterilmeli.

$(fg)(m)=f(g(m))=f(1\otimes m)=1.m=m=1_M(m)$

$(gf)(r\otimes m)=g(f(r\otimes m))=g(r.m)=1\otimes r.m=r\otimes m=1(R\otimes_R M)(r\otimes m)$ şeklinde fg ve gf birim fonksiyonları vardır. Bu durumda halkanın bir modülle tensör çarpımı o modüle izomorftur diyebiliriz.

Aynı durum toplamsal abelyen grup için geçerli midir kısmında G toplamsal abelyen grup olacak şekilde

$R\otimes_R G \cong G$ olup olmadığı gösterilmeli

$f: R\otimes_R G \rightarrow G$

        $r\otimes g \mapsto f(r\otimes g) = g+g+...+g$ şeklinde r tane g'nin toplamı olarak tanımlanabilir (G toplamsal abelyen grup)

$f': G \rightarrow R\otimes_R G$

         $g\mapsto 1\otimes g$

olacak şekilde $(ff')(g)=f(1\otimes g)=g=1_G(g)$ ve $(f'f)(r\otimes g)=f'(g+g+...+g)=1\otimes (g+g+...+g)=(1\otimes g)+(1\otimes g)+...+(1\otimes g)=r.(1\otimes g)=r.1\otimes g=r\otimes g=1(R\otimes_R G)(r\otimes g)$ olduğundan bu durum toplamsal abelyen grup için de geçerlidir yani $R\otimes_R G \cong G$ dir.

Sorum şu; 2. durum her $R$ halkası için geçerli midir? Özel olarak $R=\mathbb{Z}$ almak gerekir mi?

Bunun dışında bu gösterimde eksik veya hatalı bir yer var mıdır?