$y=f(x)$'in grafiğini kullanarak, $f$ bağıntısının tersinin limitini alırken önerebileceğiniz çözüm yolları var mıdır, nelerdir?

Question

$y=f(x)$ grafiği verilmiştir.

Buna göre, $\lim\limits_{x \to (-2)^{-}}(f\circ f)^{-1}(x)+\lim\limits_{x \to 2^{-}}(f\circ f)^{-1}(x)$ limitinin değeri kaçtır?

Comments

Ben fonksiyonun y=x' e göre simetriğini alıp tersinin grafiğini çizerek çözdüm ama çok uzun sürdü, siz nasıl çözersiniz?

---

başlıkları daha özenle yazabilir misiniz, biraz ipucları ve soru ile ilgili şeyler vb.

---

Bu soru için ne yazacağımı bilemediğimden böyle oldu. Üzerinde daha çok düşünürüm bundan sonra. Teşekkürler.

---

1 kıt fazlası olsa bile yeter mesela," limitle ilgili olan ve grafiğini yazdığım soru için hangi çözüm yöntemlerini önerebilirsiniz? "  gibi olabilir :) hem başlık yazmak ufku açıyor bir nebze

---

Kapasite zorlamak lazım biraz haklısın, yaptım bir şeyler ifadede hata olmadıysa ve beğenebildiyseniz..

---

bence güzel olmuş başlık, ancak şimdide soruyla sıkıntım var ,aynı x değeri için 2 y değeri oldugundan bu bır fonksıyon degıl bagıntı sanırım?

---

İşte bundan korkuyordum.. Doğru diyorsun, tersi fonksiyon oluyor buna da bir çözüm bulayım..

---

acaba fotonyiyen insan evladı soruyu böyle mi beğenir, şöyle mi beğenir..

---

Estagfurullah :) kızmayın, beğenmeyle alakası yok hem biraz araştırın sercan hoca bana ne kadar zalim davranıyor :) ancak bu şekilde gelişiyoruz hem haksızsam tamam haksızım derim :) başlık oldu , şimdi soruya odaklanabiliriz :D:D

---

Estağfurullah da "aynen öyle" demek esasında, ancak bu şekilde gelişiyoruz.. :)

---

Mobilden giriyorsun sanırım  , yorum yapmak için yorum sonlarındaki "cevapla" ya degıl de en başa çıkıp yorumla deyebilirsin.

---

Evet bunu hep bir şeyler yazdıktan sonra fark ediyorum.. Artık biraz da çözüme kafa yormak lazım değil mi..

---

Ev karışık biraz ve soru hoş yavaş ve düzelterek yapıyorum bu seferlik kusurabakmayın :)

---

Cevabı yazdım, çok emin degılım ancak mantıklı oldu sanırım, ayrıyetten eğer parçalı fonksiyonlarda bileşke almayı bılıyorsan, direkt $f^{-1}\circ f^{-1}(x)$ 'i bulup limitlerini alabilirsin bu da 2. çözüm olur, ancak eğer ,$\epsilon$ mantıgına tam alışmadıysan alışmalısın, cevabım yanlış olabılır ancak düşünme tarzını sevıyorum.

---

Ne kusuru, emrivaki gibi anlaşıldıysa asıl sen benim kusuruma bakma ben şakasına demiştim yoksa yaptığın çözümü paylaşmak zorunda bile değilsin. Çok teşekkür ederim ayırdığın zaman için. Şimdi anlamaya çalışacağım.

---

ortada kusur yok :) zarif bir soruydu,keyf aldım, bir de şu lys geçiverse ben de matematik denizine iyi bir dalmak istiyorum .

Answer 1

İlk olarak bağıntıyı yazalım ve tersini alıp fonksiyonu bulalım,


$f(x)=\begin{cases}2-2x\quad,x<1\\x-2 \quad,x<2  \end{cases}$

hatta direkt $f^{-1}$ 'i bulsak daha sağlıklı olur,


$f^{-1}(x)=\begin{cases}\dfrac{2-x}{2}\quad,0<x\\ x+2 \quad,x<0  \end{cases}$

Bileşke fonksiyonların tersi ,

$\boxed{Bilgi:\quad (f\circ g)^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1}}$ 

İstenen limit

$\lim\limits_{x\to (-2)^-}(f\circ f)^{-1}(x)+\lim\limits_{x\to 2^-}(f\circ f)^{-1}(x)=\lim\limits_{x\to (-2)^-}(f ^{-1}\circ f^{-1})(x)+\lim\limits_{x\to 2^-}(f ^{-1}\circ f^{-1})(x)$   imiş.


$\lim\limits_{x\to (-2)^-}(f ^{-1}\circ f^{-1})(x)$  'i düşünelim

$f^{-1}(x)=\begin{cases}\dfrac{2-x}{2}\quad,0<x\\ x+2 \quad,x<0  \end{cases}$

Olduğundan  $-2$ 'ye soldan yaklaşalım,  "$x+2 \quad,x<0$"   olduğundan,

Ve $-2$'ye soldan yaklaşmak $x=-2-\epsilon(\epsilon\in \mathbb R^>0)$ demek olduğundan ,

$\lim\limits_{x\to (-2)^-}(f^{-1})(x)=-\epsilon$ olur ve negativdir.

Ve buradaki ispatı kullanırsak,

$\lim\limits_{x\to (-2)^-}(f ^{-1}\circ f^{-1})(x)=f^{-1}(\epsilon)$  için ters bağıntının $x+2\quad,x<0x$  kısmını kullanacağımızdan,

$\lim\limits_{x\to (-2)^-}(f ^{-1}\circ f^{-1})(x)=f^{-1}(\epsilon)=2$   olur yani bu limit $2$ civarlarındadır.Limiti $2$ dir.

Limit $\epsilon-\delta$ 'tanımı için tıklayınız.  

2. terim için aynı hesabı yaparsak,

$\lim\limits_{x\to 2^-}(f ^{-1}\circ f^{-1})(x)$

bu sefer 2 ye soldan yaklaşıyoruz yani $x=2-\epsilon (\epsilon\in\mathbb R^+)$

parçalı fonksiyonda yerine koyarsak

$f(2^-)=\dfrac{2-(2-\epsilon)}{2}=\epsilon/2=\epsilon_1$ gelir, ve bu da pozitivdir.

$f(\epsilon_1)=\dfrac{2-\epsilon_1}{2}=1-\epsilon_1/2=1$  gelir,dolayısıyla  1. terım 2ye eşit 2.terim 1 e eşittir toplamları 3dür.

Comments

Fonksiyonları nasıl bulduk? x'in artan ve y'nin artan kısımlarına göre düşünüceğiz.

---

$\displaystyle{ f^{-1} \circ f^{-1}}$ fonksiyonunu yazmanın çözümü hızlandıracağını düşünüyorum.

---

kesinlikle yukarida ben de bahsetmistim biraz .

---

Bir saniye x neden -1 den küçük diye parçaladık. Orayı anlayamadığım için ilerleyemiyorum şu an. +1 olması gerekmiyor mu?

---

$f(0)$ nedir? $f$ fonksiyon bile degil.

---

@Zin, aynen +1 olcak zaten f'in fonksıyonu muhım degıl f^-1 e bakınız

@Sercan aynen , kuralı sılıyorum ama kareyi silmem.

---

Yorumu duzenlediydim biraz. Cunku $f$ fonksiyon degil.

---

Zaten en başta denmişti sanırım ,bagıntı oldugu ,hocam, sayın hocam,sevgili hocam.

---

Peki $\in$ neden pozitif? Negatif bence.

---

Bilgi diye degistirmissin ama on sartlari yasilmamis. 

Bagintida limit tanimi nedir?

Fonksiyon degilse nasil limit alacagiz?

Fonksiyon degilse nasil bileske alacagiz?

---

Bir şey daha sormak istiyorum, tamamen benim cahilliğim ama fonksiyonun tersini alırken nasıl 0<x ve x<0 diyoruz?

---

@Zîn epsilon yani $\epsilon$ 'u ben pozitiv seçtim , 

@Sercan, bağıntının özellikleri fonksiyonu kapsıyor dolayısıyla bileşkeyi alabiliriz ,%89,24 eminim.

---

ancak aynen fonksıyon degılse lımıtı nasıl alıyoruz? alabılıyoruz çünki f'in bagıntı olması alakadar etmıyor, f'nin tersi gayet fonksiyon :) dolayısıyla sadece f'nın tersınde ışlem yaptık burada da sıkıntı yok,

---

@Zin, kafanı sağa yatırırsan ve ayna yansımasını düşünürsen ,yani x'in ve y'nin artan degerlerıne gore normal olarak f'yi nasıl inceliyorsan f'nin tersını ıncelerken de y 'nin artan tarafı yukarı , x'in sağa olacak burada ne dedıgımı anlamak için kafayı sağa yatır ve , $x\to y$ , $y\to x$ olurken eksenler nasıl değişiyor 'u düşün :) ondan sonra dogruları ayrı ayrı hesapladım, ve parçalı fonksıyonu yazdım.

---

yav sen pozitif seçsen de negatif çıkmıyor mu? $x+2$ de $x$ yerine $-2-\epsilon$ yazınca diyorum yani :/

---

Kafamı sağa yatırmadan düzlem aynaya kırk beş derecelik açı yaptırıp yansıttım grafiği  :) Ama işte simetrik düşünürken başım çok ağrıyor, bir de başka nasıl çözülebilir diye merak etmiştim

---

aynen güzel soru  ancak , orda demek ıstedıgım şöyle, $x=-2$ seçiyoruz degıl mı? ama -2 ye soldan yaklaşıcaz o zaman epsilon pozitiv sayısıyla toplarsam sağa düşeriz ama soldan yaklaşmamız gerek oyuzden epsilonun da negatıv olması gerek dolayısıyla $-2-\epsilon=x$  gibi düşünüyoruz,


peki  neden $x+2$? çünki $f^{-1}(x)$ fonksiyonuna bakarsak orada 0dan küçük xler için $x+2$ fonksiyonnuna bakın dıyor. 

---

Bu anlattıklarında sıkıntı yok ancak salak olduğumu düşünmeye başlasak bile son kez yazacağım :)

$\lim\limits_{x\to (-2)^-}(f^{-1})(x)=\epsilon$ dediğin yer,  $\lim\limits_{x\to (-2)^-}(f^{-1})(x)=-\epsilon$ olmalı diyorum, olmamalı mı?

---

Su an gordugum: Hata uzerine matematik yapilip o matematigi tartismak. 

$0=1$ kabul edersek yanlislari da dogru gosteririz.

Bagintida 
1) limit tanimi nedir?
2) bu tanim iyi tanimli mi? yani celiskili mi degil mi? (ise yararli mi demiyorum).
3) Bu tanima gore limit kurallari nedir?

a) Bagintida bileske nasil alinir?
b) Bagintida ters nasil bulunur?

.
.
.

---

salak benım , hata yapmışım - olacak tabı. sayende düzeltiyoruz :) :)

---

Bir fonksiyon icin dusunelim. limit degerinin $\epsilon$ degiskenine esit/bagli olmasi mumkun mu? 

---

Neresı hatalı?, y bagıntısının tersı fonksıyon degıl mı? siz biliyorsunuz belki ögretmek için soruyorsunuz ama bilmeyen adam sormadı , sanıyorum ki bu soruyu ınceleyen ınsanlar bunu anladı, bir de bu sabah $hacınaber$ sembolundeki yorumlaşmada dedınızkı bu bır ezber degıl, belli zamandan sonra sureklı tanımları vermek ınsanı sıkar dedınız, pekı sımdı neden boyle dıyorsunuz? her tanımı tek tek yazamadım ama ınternetten bulunabılıcek şeyler sanıyorum, lütfen dogru olan şeylerı degıl de hata yapılan yerlerı tartışalım, mesela ,tanım kümesi değere giderken , ters bagıntı diyorki, deger tanıma gelıyor ,grafıgı ınceledıgımızde de zaten goruluyor y'nin tersinin bır fonksıyon oldugu. ve 0 olan krıtık noktasında lımıt aranmadıgından bence bır sıkıntı yok sayın sercan hocam.

---

Ek olarak üst yorumu okumadınız hocam sanırım, bagıntıda lımıt almadık , fonksıyonda lımıt aldık

---

"$51+70$ kactir?" derken $51$ ve $70$ nerenin eleman dememek gerek anlaminda diyorum. Biri belki ben bu toplami $\mod 71$'de aliyorum der. 

Simdi zaten genel demediklerimi alip genele vurmamak lazim. Cok bariz sartlar icin dediklerimi alip bu kadar tanimin degistirildigi va bariz olmayan bir yerde uygulanmasini beklememek lazim.

Burada soz ettiklerini internette bulabilecegimi savunuyorsan goster. Ben bilmiyorum. Ben bu sorunun yanlis oldugunu dusunuyorum. Sense bunu barizmis gibi benim bir kabul olarak gormemi istiyorsun.

Bu $3+5$ degil, Altin oran degil, $e$ ya da $\pi$ degil. (ki $\pi$ bazen indirgeneme fonksiyon notasyonu olarak kullaniliyor). Bu $\lim\limits_{x\to 2} x^2$ degil.

Lutfen.

---

O kisim icin de diyorum ki: $f\circ f$ bagintisinin tersini nasil $f^{-1}\circ f^{-1}$ olarak aldik. Bunlari soruyorum zaten, bir kac kere sordum. Tekrar soruyorum :)

---

Ben de artık sormayı bıraktım sadece izliyorum :) sorunun orijinalini atayım mı gerçi birebir yazdım sadece seçenekler eksik kaldı :/

---

@Zîn hocam sen cevabı tam kontrol ettin mi :) ortaogretım ıcın cok derıne ınmeden bıraz yuzeysel gıtmelıyız, ancak ayrıca ince eleyip sık dokuyoruz güzel oluyor, sercan hocam rahat şu aralar, daha çalışmaya başlamadık :D 4-5 seneye geçerim :) ama onun da 4-5 sene yatması gerek :D

---

Sercan hocam, madem soru hatalı, her zamanki gibi hatalı oldugunu ıspatlayabılır mısınız?, ben hâlâ daha normaldir diyorum.

---

Cevapta sıkıntı yok,  3 olacak. (Sercan hocamızın dediği gibi hatalı değilse tabi. Hatalıysa 3 de olamaz:) Hiç yüzeysel gitmeyelim. Ben bir senemi ciddi ciddi öğrenmeye feda ediyorum çünkü tercih yapmayacağım bu sene. O yüzden hata varsa neyse derin derin inceleyelim ben neresinden tutacağımı bilemediğimden çok dahil olamıyorum, kaynaklarım da yetersiz öneriniz olursa ben de araştırırım ama. Tembellikten izlemiyorum yani.

---

Ben caliskan degilim zaten zekiyim ;) bu nedenle beni bilgi olarak gececegine suphem yok. Fakat onemli olan diger bir durum bildigini dogru yerde dogru bir sekilde kullanabilmek... 

Buna cevap veren sensin. Ben cevaplamak istemiyorum. Diyorum ki $f$ bir fonksiyon olmadigindan ben bu soruya devam etmem ve hatali derim. Hatali deme sebebim bu. Bu kadar. Bitti.

Fakat normaldir diyecegin teori daha onceden kurulmamis (ben bilmiyorum anlaminda), seni destekleyen kaynak yok (kaynagi sen de vermiyorsun. Fakat kaynaga gerek de var demiyorum, yeni bir olaysa, kaynagi kendin olusturabilirsin ama sen de bunu yapmiyorsun) ve sonuc normal diyorsun.

Su an senin aklindakileri anlayamiyorum. Kendim teori olusturamiyorum, cunku cok karisik, dusundum epey karisik. Kisitlamalar yapmam gerek, bu kisitlamalari da epey iyi ayarlamaliyim ki, bir anlam ifade etsin, fakat kisitlamalara gore yapacaklarim da iyi tanimlanacak bir tanim vermiyor. Bunlari ben dusundum. Bildiklerimi bu sorunu cozmek icin uyguladim. Fakat karisikliklar, celiskiler var. Bunlari dusundum. 1 dakika civari dusundum ama dusundum. Dusunduklerimi de paylasayim biraz:

Baginiyi fonksiyonlar kumesi olarak ayiabiliriz. Ust ve alt fonksiyon parcasi olarak. Uste $f_1$ alta $f_2$ deriz. Bunlara gore limit alabiliriz. Fakat neden bir alttan bir ustten nokta alarak ya da bir altan aralik bir ustten aralik alarak iki fonksiyona bolmuyoruz. Burada iki kisma ayirdim cunku bazi kisimlardan $2$'ye $1$'lik var. (Tabi bunun genel halini de dusunmek gerekir, daha komplike bagintilar icin).

Kisacasi sececegimiz fonksiyonlar Dirichlet fonksiyonu gibi de olabilir, iki dogru fonksiyonu gibi de, ya da biraz ondan biraz digerinden. Bazilarinda bir limit kumesi gelir bazilarinda gelmez.

Gelenleri alalim sadece o zaman... En iyisi bu. Belki de daha onceden kurulmus bir seydir, bilemem.


Senin teori olarak one attigin bu, benim dusunduklerim bu. Fakat sen bana bunlar hakkinda ne kaynak veriyorsun, ne de dusunce.... Bu da okuyucuya karsi hos bir durum degil... 

---

Sercan'ın da ifade ettiği gibi soru hatalı. Limit bahsi gerçel tanım kümeli ve gerçel değerli fonksiyonlar için söz konusu edilir (En azından ortaöğretim seviyesinde böyledir). Ancak $f$ bağıntısı bir fonksiyon olmadığı için sorulan soru anlamsızdır. 

---

tesekkurler hocalarim iyiki boyle hatali bir cevap yazdim sayenizde guzel bilgiler ogrenildi.

---

Soru ne kadar hatalı olsa da ben de kendi adıma birçok şey öğrendim. Hepinize ayırdığınız zaman ve paylaştıklarınız için teşekkür ederim.