Taban aritmetiginde ise yarayabilecek bir ust sinir: $l >1$ icin $s_p(l(p-1)) \le (l-1)(p-1)$

Question

$a$ ve $b$ negatif olmayan tam sayilar olmak uzere $$s_p :\begin{cases} \mathbb Z^{\geq 0} \to \mathbb Z^{\geq 0} \\ x \to \displaystyle\sum_{i=0}^{\lfloor\log_p x\rfloor}x_i  \end{cases}$$ olarak tanimlayalim, oyle ki $x_i$ sayisi $x$ sayisinin $p$-sel acilimindaki $p^i$ kuvvetinin katsayisi.

Kisacasi $s_p$ pozitif bir tam sayiyi $p$-sel acilimindaki basamaklar toplamina goturuyor.

Soru: $l >1$ icin  $$s_p(l(p-1)) \le (l-1)(p-1)$$ oldugunu gosteriniz ve bu sonucu kullanarak icin (ek olarak buradaki sonucu kullanarak)  $$s_p(l(p^u-1)) \le (l-1)(p-1)u$$ olmasi gerektigini cikariniz.