Question

$G$ bir grup ve $f:G\rightarrow G$ $\forall a\in G$ için $f(a)=a^{3}$ ile tanımlı $f$ izomorfizma olsun. $G$ nin değişmeli olduğunu nasıl gösterebilirim?

Comments

$a^3b^3=(ab)^3$ ise $a^2b^2=baba$ diye baslanabilir.

Answer 1

Herhangi $x, y \in G$ icin $(xyx^{-1})^3$'u iki farkli sekilde hesaplayalim: $f$ homomorfizma oldugu icin $(xyx^{-1})^3 = x^3y^3x^{-3}$. Ayrica $(xyx^{-1})^3 = xyx^{-1}xyx^{-1}xyx^{-1} = xy^3x^{-1}$. Boylece $x^3y^3x^{-3} = xy^3x^{-1}$. Buradan $[x^2, y^3] = 1$ oldugu anlasiliyor. Ancak $f$ bir izomorfizma oldugundan $G$'nin her elemani bir tam kup. Boylece $G$'nin tam kare olan elemanlari $G$'nin merkezinde olmali.

Simdi herhangi $x, y \in G$ icin sunu gozlemleyelim: 

$[x, y] = (xyxy)^{-1}xyxy xyx^{-1}y^{-1} = (xyxy)^{-1} x^3y^3x^{-1}y^{-1} = (xyxy)^{-1} xx^2yy^2x^{-1} y^{-1}$

$= (xyxy)^{-1} xyxy = 1$ ($x^2$ ve $y^2$ merkezde oldugu icin). Bu da $G$'nin degismeli olmasi demek.

Comments

Teşekkür ediyorum vecihi. Genel olarak $f:G\rightarrow G$ $a\in G$ için  $f(a)=a^{n}$ nin izomorfizma ($n>0$) olması durumunda $a^{n-1}$ grubun merkezine düşmekte.

---

Ben de genelleme icin tesekkur ederim, aklima gelmemisti.