Question

$R$ birimli ve değişmeli bir halka, $f(x)=a_{0}+a_{1}x+...+a_{n}x^{n} \in R[x]$ olsun. $f(x)$ polinomu $R[x]$'de tersinir ise polinomun sabiti $a_{0}$ elemanının $R$'de tersinir ve $a_{1},\cdots,a_n$ elemanlarının $R$'de sıfır güçlü (nilpotent) olduğunu gösteriniz.

Comments

http://matkafasi.com/5624/guc-serilerinde-carpimsal-ters sorusu incelenebilinir.

Answer 1

$f(x)=a_0+a_1x+a_2x^{2}$ ve $g(x)=b_0+b_1x+b_2x^2+b_3x^3\in R[x]$ ve $f(x)g(x)=1$ olsun. Sabit terimlerden $a_0$ ın tersinir olduğu görülür. Şimdi $f(x)$ in başkatsayısının sıfır güçlü olduğunu gösterelim. Böylece $h(x)=f(x)-a_{2}x^{2}$ tersinir olacak ve aynı tartışma $h(x)$ in başkatsayısı olan $a_1$ in sıfır güçlü olduğunu göstermekle devam edecektir. Buna göre
$a_0b_0=1\\  a_0b_1+a_1b_0=0\\  a_0b_2+a_1b_1+a_2b_0=0~~~~~~~~(3)\\  a_0b_3+a_1b_2+a_2b_1=0~~~~~~~~(4)\\  a_1b_3+a_2b_2=0~~~~~~~~~~~~~~(5)\\  a_2b_3=0~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(6)\\ $
denklemleri elde edilir. $(5).$ denklemi $a_2$ ile çarpalım. Buradan $a_2^{2}b_2=0$ elde ederiz. $(4).$ denklemi $a_2^{2}$ ile çarptığımızda $a_2^{3}b_1=0$ elde ederiz. $(3).$ denklemi $a_2^{3}$ ile çarptığımızda $a_2^{4}b_0=0$ elde ederiz. $b_0$ tersinir olduğundan $a_2^{4}=0$ yani $a_2$ sıfır güçlü eleman olarak bulunur.

Bu yöntemi $f(x)$ ve $g(x)$ polinomlarının dereceleri sırasıyla $n$ ve $m$ alındığında da genelleştirmek mümkündür.

Comments

Soruda ise yerine ancak ve ancak kullanarak ters yönünün doğruluğunu nasıl görebiliriz?

---

http://www.matkafasi.com/10828/izomorfizma-ve-nilpotentlik

bu linkte cevap mevcut.