Question

$R$ sonlu, değişmeli ve birimli bir halka olsun. $R$ nin her $I\ne R$ asal idealinin maksimal olduğunu nasıl görebilirim?

Comments

ilk olarak bu sorudaki cevaplar okunabilir.

1) $R/I$ bolum idealinin  bir cisim oldugu gosterilebilir.
2) Herhangi bir  $x\not \in I$ icin $<x,I>=R$ oldugu gosterilebilir.

Gerci burda hic asal oldugunu kullanmadim. Herhangibir idealin maksimal ideal oldugunu bu sekilde gosterebiliriz. Asal olanlar icin ek bir yontem varsa bilmiyorum, fakat yok gibi duruyor.

---

$R/I$ nın cisim olduğunu $R$ cisim olduğu için mi söyleyebildiniz?

---

Bolum sonlu bir tamlık bölgesi olmuyor mu?

(Daha önce bahsettiğim soru tam o değilmiş)

---

ilgili sorudaki ilk cevap: $R/I$ cisimdir $\iff$ $I$ ideali $R$ halkasinda maksimaldir.

---

Oluyor Doğan hocam. Haklısınız. Soruda $I$ nın asal olması neden verilmiş olabilir? Soru fazla bilgi mi içeriyor?

---

Sıfır bolensiz olmasi icin

---

Evet hocam. Aksine örnek $\Bbb{Z_{8}}/<4>$ verilebilir.

---

Ben sonlulugu gozden kacirmisim bu arada.

Answer 1

$R'=R/I$ SONLU, birim elemanlı  değişmeli ve sıfır bölensiz bir halkadır. Cisim olduğu çok kolay.

$a\in R',\ a\neq0$ olsun. $x\mapsto ax,\ R'\setminus\{0\}\to R'\setminus\{0\}$ (Sıfır bölensiz olduğundan) 1-1 dir. sonlu olduğundan örtendir. $ax=1$ o.ş. bir $x\in R'$ vardır. Böyle bir soru soruldu sanıyorum ama bulamadım.

Ek: Galiba değişmeli varsayımına gerek yok

Comments

Sonlu tamlık Bölgeleri cisimdir. $R$ değişmeli olursa $R/I$ da değişmeli olur. 

---

http://matkafasi.com/1009/sonlu-halkalarin-elemanlari?show=1009#q1009

sorusunda (Sercan tarafından sorulup DoganDonmez tarafından!) gösterilmiş.