Verilen soru: limx→3(2x−1)=5 oldugunu ϵ−δ tanimi ile ispatlayiniz.
Ispat olarak verilen: Verilen ϵ>0 icin bir δ>0 secmeye calisacagiz. |(2x−1)−5|<ϵ |2x−6|<ϵ |2(x−3)|<ϵ 2|x−3|<ϵ |x−3|<ϵ2 oldugundan δ=ϵ/2 olarak secelim.
Aslina bakarsak: Verilen ϵ>0 icin δ=ϵ/2>0 secersek 0<|x−3|<δ oldugunda |(2x−1)−5|=|2x−6|=|2(x−3)|=2|x−3|<2⋅ϵ/2=ϵ olur.
Fakat ispat olarak verilende: Tanimda p⇒q yerine q⇒p gosterilmis. Yani 0<|x−a|<δ'nin |f(x)−L|<ϵ olmasini gerektirmesini gostermek istiyorduk. Fakat |f(x)−L|<ϵ'un |x−a|<δ oldugunu gostermis olduk.
Buna ragmen ilk ispattaki δ istedigimiz sarti sagladi. Bunu saglamayacak bir ornek verebilir misiniz?