Limitin $\epsilon-\delta$ tanminda ispatin tersten yapilmasi ve yine de sonucun dogru olmasi

Question

Verilen soru: $\lim\limits_{x\to 3} (2x-1)=5$ oldugunu $\epsilon-\delta$ tanimi ile ispatlayiniz.

Ispat olarak verilen: Verilen $\epsilon>0$ icin bir $\delta>0$ secmeye calisacagiz.  $$|(2x-1)-5|<\epsilon$$ $$|2x-6|<\epsilon$$ $$|2(x-3)|<\epsilon$$ $$2|x-3|<\epsilon$$ $$|x-3|<\frac{\epsilon}{2}$$ oldugundan $\delta=\epsilon/2$ olarak secelim.


Aslina bakarsak: Verilen $\epsilon>0$ icin $\delta=\epsilon/2>0$ secersek $$0<|x-3|<\delta$$ oldugunda $$|(2x-1)-5|=|2x-6|=|2(x-3)|=2|x-3|<2\cdot\epsilon/2=\epsilon$$ olur.


Fakat ispat olarak verilende: Tanimda $p \Rightarrow q$ yerine $q \Rightarrow p$ gosterilmis. Yani $0<|x-a|<\delta$'nin $|f(x)-L|<\epsilon$ olmasini gerektirmesini gostermek istiyorduk. Fakat $|f(x)-L|<\epsilon$'un $|x-a|<\delta$ oldugunu gostermis olduk.

Buna ragmen ilk ispattaki $\delta$ istedigimiz sarti sagladi. Bunu saglamayacak bir ornek verebilir misiniz?

Comments

"İspat olarak verilen" başlığı altında yapılan işlem $\delta$ sayısının (eğer varsa) nasıl seçilmesi gerektiğini anlamak için yapılan bir proses değil mi? 

---

Bilmem, ben hic kullanmiyorum. Bazi ogrenciler de sinav kagidina ilkini cevap olarak veriyor. Muhendisler icin analiz sinavlarinda genelde lineer icin tanim sordugundan ve gercekten de tanimdaki degere de uydugundan ogrenciler puan alabilmek icin cevaplarinin dogrulugunda israrci oluyorlar.

Bu tarz bir cevap tanimla alakasiz oluyor. Fakat bunun her zaman dogru olmadigini soylemek daha kuvvetli olur diye dusunuyorum.

---

İlki aslında müsvedde kağıdı. İkincisi kanıt.

Answer 1

Ispat olarak verilenin sonunu degistirelim: Verilen $\epsilon>0$ icin bir $\delta>0$ secmeye calisacagiz.  $$|(2x-1)-5|<\epsilon$$ $$|2x-6|<\epsilon$$ $$|2(x-3)|<\epsilon$$ $$2|x-3|<\epsilon$$ $$|x-3|<{\epsilon}$$ oldugundan $\delta=\epsilon$ olarak secelim.


Fakat bu durumda: Verilen $\epsilon>0$ icin $\delta=\epsilon>0$ secersek $$0<|x-3|<\delta$$ oldugunda, ornegin $x=3+\frac{3\epsilon}{4}$ icin   $$|(2x-1)-5|=2|x-3|=\frac{3\epsilon}{2}>\epsilon$$ olur.