$\epsilon-\delta$ (epsilon-delta) için anlamadığım yanlış limitleri ispatlama durumu.

Question

Soru 1:

Limit için $\epsilon-\delta$ ile limiti ispat etme metodları genelde nedir?Belli sınırlı sayıda metod gösterilebilinir mi?

Misal en genel metod üçgen eşitsizliği kullanıp epsilondan kücük, ifadeden büyük bir durum yaratmak oluyor veya polinomlar için çarpanlara ayırıp deltaları yazmak...(her epsilon pozitivi için bir delta tabii)

Soru 2:(Hatırlatma! Düşülen hatalardan...İpucu:tanım'ın türkçe düşünülmesinin hatası)

Yani elimde $\lim\limits_{x\to a}f(x)$  veya daha spesifik olursam $\lim\limits_{x\to 1}5x-3=2$   var.

1. yöntem:

$|5x-3-2|<\epsilon$  ve  $<|x-1|<\delta$ ve $5\delta=\epsilon$ seçmek işi kurtarıyor.

Başka bir $\delta_u\neq\delta$ için de bu limit'in doğruluğu gösterilir mi?

Yani her limit için varolan epsilonlar için $\delta$ biricik midir?

$\star$Soru 3:(Başka limiti kabul edıp ıspatlamak ve bunun yanlışlıgını gostermek)

Elimde  $\lim\limits_{x\to 1}5x-3=2$   var.Ama limiti $2$ degil de $1$ alıp ispatlamaya çalışalım.

Deneme 1:

$5|x-1|+1>|5x-4|$  ve $|x-1|<\delta$ için   $\delta=\dfrac{\epsilon-1}{5}$ seçersek ispatlanır ama her $\epsilon>0$ için olmaz.

Ve ana sorum burada geliyor: Belki ben beceriksizimdir ve deltayı guzel seçememişimdir.Öyle bir delta buluruz ki belki de bu yanlış limiti doğru gibi gösteririz.(gerçek limiti bulup ve limitin biricikliğini gösterip bunu çürütmekten başka hangi metod ile bu durumu yani seçilen yanlış limitin yanlışlığını ispatlayabiliriz?)

 

Answer 1

Soru1 icin: Verilen $\epsilon>0$ icin  $$0<|x-a|<\delta$$ sarti saglandindiginda $$|f(x)-L|<\epsilon$$ sartinin saglandigi bir $\delta>0$ bulabiliyorsak (tanim olarak) $$\lim_{x\to a}f(x)=L$$ deriz.
_____________
Soru 2 icin: Verilen $\epsilon>0$ icin  $$0<|x-a|<\delta$$ sarti saglandindiginda $$|f(x)-L|<\epsilon$$ sartinin saglandigi bir $\delta>0$ bulabiliyorsak eger, bu bariz olarak $0<\delta^\prime\le \delta$ secimleri icin de saglanir, yani:
_____________
$\epsilon>0$ icin  $$0<|x-a|<\delta$$ sarti saglandindiginda $$|f(x)-L|<\epsilon$$ sartinin saglandigi bir $\delta>0$ bulabiliyorsak $0<\delta^\prime\le \delta$ icin de   $$0<|x-a|<\delta^\prime$$ sarti saglandindiginda  $$|f(x)-L|<\epsilon$$ saglanir.
_____________
Soru 3 icin: (Demistik ki) Verilen $\epsilon>0$ icin  $$0<|x-a|<\delta$$ sarti saglandindiginda $$|f(x)-L|<\epsilon$$ sartinin saglandigi bir $\delta>0$ bulabiliyorsak  $$\lim_{x\to a}f(x)=L$$ deriz.
_____________
Eger verilen bir $\epsilon>0$ icin $$0<|x-a|<\delta$$ sarti saglandindiginda $$|f(x)-L|<\epsilon$$ sartinin saglandigi bir $\delta>0$ bulamiyorsak bu durumda  limit $L$  degildir deriz.
_____________
Eger  bir $\epsilon>0$ degeri  verildiginde her $\delta>0$ icin $$0<|x-a|<\delta$$ sarti saglandindiginda $$|f(c)-L|>\epsilon$$ esitsizligini saglayan bir $c\in (a-\delta,a+\delta)\setminus\{a\}$ degeri bulabiliyorsak bu durumda limit degeri $L$ olmaz.

______________
Asil sorun icin: $\epsilon=\frac1{2}>0$ degerini alalim. Herhangi bir $\delta>0$ secelim. Bu durumda   $$0<|x-1|<\delta$$ kumesinin alt kumesi olan  $$0<|x-1|<\min\left\{\delta, \frac1{10}\right\}$$ icin, yani $$x\in \left(\frac{9}{10},\frac{11}{10}\right)\setminus\{1\}$$ oldugunda ($\delta<1/10$ ise $x$'ler bu kumenin icerisinde kalir yine de, yani daha genisini almis oluyoruz) $$f(x)-1 \in \left(\frac12,\frac32\right)\setminus\{1\}$$ olur. Yani bu araliktaki her deger icin $$|f(x)-L|>\epsilon$$ olur.