Hangi $x\in\mathbb{R}$ ler için $\arccos(\sin x)=\frac\pi2-x$ doğrudur?

Question

http://matkafasi.com/67371/her-%24x-in-mathbb-r-%24-icin-%24-arccos-sin-x-frac-pi2-x%24-dogru-mudur#a67407

Sorusu ile ilgili.

Comments

http://matkafasi.com/67371/her-%24x-in-mathbb-r-%24-icin-%24-arccos-sin-x-frac-pi2-x%24-dogru-mudur

Answer 1

$$f(x)=\sin x$$ kuralı ile verilen $$f :\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\to \left[-1,1\right]$$ fonksiyonu ile 

$$g(x)=\arccos x$$ kuralı ile verilen $$g:\left[-1,1\right]\to\left[0,\pi\right]$$  fonksiyonunu ele alalım.

$$g\circ f:\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\to \left[0,\pi\right], \,\,\ (g\circ f)(x)=\arccos(\sin x)$$ fonksiyonunun tanım kümesi ile $$h(x)=\frac{\pi}{2}-x$$ kuralı ile verilen $$h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$ fonksiyonunun tanım kümesi farklıdır. Dolayısıyla $$g\circ f$$ fonksiyonu ile $$h$$ fonksiyonu eşit değildir. Ancak $$h(x)=\frac{\pi}{2}-x$$  kuralı ile verilen $h$ fonksiyonunun tanım kümesi $\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ ve hedef (değer) kümesi $\left[0,\pi\right]$ olarak alınırsa $$g\circ f=h$$ olur.

Tanım: $f\in Y^X$ ve $g\in T^Z$ olmak üzere 

$$f=g:\Leftrightarrow (X=Z)(Y=T)(\forall x(f(x)=g(x))$$

$$f\neq g:\Leftrightarrow \left[X\neq Z \vee Y\neq T \vee \exists x(f(x)\neq g(x))\right]$$